[论文解读] On Randomized and Quantum Query Complexities

Gatis Midrijānis|ArXiv.org|Jan 25, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文为全布尔函数的确定性、随机性和量子查询复杂度建立了更紧致的界限。证明了对于单边误差量子算法，确定性查询复杂度 D(f) 满足 O(Q₁(f)³)，优于以往结果；并表明零误差与双侧误差随机算法之间满足 R₀(f) = O(R₂(f)² log N)，推动了查询复杂度理论中去随机化与去量化的目标。

ABSTRACT

We study randomized and quantum query (a.k.a. decision tree) complexity for all total Boolean functions, with emphasis to derandomization and dequantization (removing quantumness from algorithms). Firstly, we show that $D(f) = O(Q_1(f)^3)$ for any total function $f$, where $D(f)$ is the minimal number of queries made by a deterministic query algorithm and $Q_1(f)$ is the number of queries made by any quantum query algorithm (decision tree analog in quantum case) with one-sided constant error; both algorithms compute function $f$. Secondly, we show that for all total Boolean functions $f$ holds $R_0(f)=O(R_2(f)^2 \log N)$, where $R_0(f)$ and $R_2(f)$ are randomized zero-sided (a.k.a Las Vegas) and two-sided (a.k.a. Monte Carlo) error query complexities.

研究动机与目标

• 为全布尔函数的确定性、随机性和量子查询复杂度之间的关系提供更紧密的联系。
• 通过建立确定性复杂度相对于量子和随机对应物的改进上界，推进去随机化与去量化的目标。
• 改进现有界限，特别是 Buhrman 等人以及 Aaronson 所研究的单边误差量子与零误差随机查询模型的界限。
• 探索多项式方法在分析查询复杂度中的作用，特别是通过块敏感度与度数界限。
• 解决关于已知查询复杂度模型之间分离界限最优性的开放问题。

提出的方法

• 使用多项式方法分析量子查询算法，利用 T 次查询的量子算法输出概率可由次数至多为 2T 的多重线性多项式表示的事实。
• 应用块敏感度下界技术，表明在非确定性多项式中查询一个最大单项式会使块敏感度至少减少 1。
• 应用 Nisan-Szegedy 定理，即块敏感度 bs(f) 是 \widetilde{deg}(f)² 的 O(·)，将多项式次数与敏感度度量联系起来。
• 通过将逼近多项式的次数与查询复杂度关联，推导出界限，利用 Q₁(f) ≥ min(ndeg(f), ndeg(1−f))/2 的事实。
• 将这些多项式界限与不相交敏感块的组合论证相结合，推导出最终的复杂度关系。
• 利用如下事实：对于任意满足 f(w)=0 的输入 w，以及任意非确定性多项式 p 中的最大单项式 M，存在 M 中的一组变量 B，使得 f(w^B)=1，以控制块敏感度的减少。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单边误差量子查询复杂度 Q₁(f) 的基础上更紧致地界定确定性查询复杂度 D(f)？
• RQ2 对于全布尔函数，零误差随机复杂度 R₀(f) 与双侧误差随机复杂度 R₂(f) 之间最优关系为何？
• RQ3 多项式方法如何用于改进量子与随机查询复杂度中的已知界限？
• RQ4 已知的量子与经典查询复杂度之间的分离界限是否最优，能否进一步缩小？
• RQ5 对于特定函数类，能否在已知界限之外进一步缩小确定性与随机复杂度之间的差距？

主要发现

• 本文证明了对所有全布尔函数 f，有 D(f) = O(Q₁(f)³)，优于 Buhrman 等人先前得到的 O(Q₁(f)⁴)。
• 建立了 R₀(f) = O(R₂(f)² log N)，收紧了零误差与双侧误差随机查询复杂度之间的关系。
• D(f) = O(Q₁(f)³) 的结果通过新颖地应用多项式方法得出，特别是分析了非确定性多项式中的最大单项式。
• R₀(f) = O(R₂(f)² log N) 的界限通过结合块敏感度论证与随机查询复杂度分析推导得出。
• 本文改进了 Aaronson 与 Buhrman 等人的早期结果，为单边误差量子算法提供了更紧致的去量化结果。
• 分析确认，多项式次数界限，特别是对 ndeg(f) 与 \widetilde{deg}(f) 的界限，在推导查询复杂度分离中起核心作用。