[论文解读] On Reeb graphs induced from smooth functions on 3-dimensional closed orientable manifolds with finitely many singular values

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用 13

一句话总结

该论文在三维闭、连通、可定向流形上构造了光滑函数，其Reeb图同构于给定的有限连通图，且该图具有良好函数并为边分配了非负整数。该构造确保沿边的正则值的原像为指定亏格的闭可定向曲面，通过Morse函数和折叠映射控制奇点，并为顶点和边提供了显式的局部模型。

ABSTRACT

The Reeb graph of a function on a smooth manifold is the graph obtained as the space of all connected components of level sets such that the set of all vertices coincides with the set of all connected components of level sets including singular points. Reeb graphs are fundamental and important in the algebraic and differential topological theory of Morse functions and their generalizations. In this paper, as a related fundamental and important study, for given graphs, we construct certain smooth functions inducing the graphs as the Reeb graphs. Such works have been demonstrated by Masumoto, Michalak, Saeki, Sharko etc. and also by the author since 2000s. We present new smooth functions on suitable $3$-dimensional closed orientable manifolds through explicit constructive methods.

研究动机与目标

• 建立一种构造性方法，将任意有限连通图（具有良好函数并为边分配亏格）实现为三维闭、连通、可定向流形上光滑函数的Reeb图。
• 通过分配亏格值控制沿边的正则值原像的拓扑，确保其为指定亏格的闭可定向曲面。
• 通过Morse函数、次浸入或与高度函数复合的折叠映射，显式建模顶点处的奇点，确保其具有精确的局部行为。
• 确保所得流形是可定向的，且全局函数光滑且仅有有限个奇点值。
• 提供一个构造性框架，推广先前关于Reeb图实现的研究成果，特别是针对三维流形和具有受控奇点的非Morse函数。

提出的方法

• 在图上定义一个良好函数，确保其在每条边上单射，当且仅当图中无环时可实现。
• 使用Morse函数或与高度函数复合的折叠映射，在二维球面上构造顶点处的局部模型，指定奇点类型。
• 对每条边，定义以闭可定向曲面（亏格等于分配整数）为纤维的边上的平凡光滑丛。
• 构造从三维流形到二维多面体的折叠映射，使得点的原像是圆、两个圆的 bouquet，或通过在l个圆上识别点形成的特定一维多面体。
• 在移除有限个奇点后，确保折叠映射的奇点集被嵌入，并且这些被移除的点位于同一原像中。
• 通过微分同胚将所有局部函数拼接起来，确保在紧致闭的三维流形上全局函数的可定向性和光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有良好函数并为边分配亏格的有限连通图，是否都能作为三维闭、连通、可定向流形上光滑函数的Reeb图实现？
• RQ2 三维流形的拓扑需满足何种必要且充分条件，才能容纳一个光滑函数，使其Reeb图同构于给定的带亏格分配的图？
• RQ3 如何显式建模函数的奇点（例如Morse型、折叠型或次浸入与Morse函数的复合），以确保Reeb图结构和原像拓扑得以保持？
• RQ4 该构造能否推广至非可定向流形？会遇到何种拓扑障碍？
• RQ5 将函数类限制为Morse函数（例如）会对能实现给定Reeb图（带亏格分配）的流形类施加何种限制？

主要发现

• 对于任意具有良好函数和边分配非负整数的有限连通图G，存在一个三维闭、连通、可定向流形M及M上的光滑函数f，使得Reeb图W_f同构于G。
• 在边内部的每个正则值的原像是一个亏格等于该边分配整数的闭可定向曲面。
• 在顶点处，函数f通过复合g∘φ取得值，其中g是图G上的良好函数，φ是W_f与G之间的同构。
• f的奇点被建模为Morse函数、次浸入与Morse函数的复合，或折叠映射与二维球面上高度函数的复合。
• 对于度数为1的顶点，f在小邻域上的限制是折叠映射与二维球面上高度函数的复合，其中折叠映射在原像和奇点集上满足特定拓扑条件。
• 该构造确保所得流形是可定向的，且全局函数光滑且仅有有限个奇点值，通过具有紧致端的开流形的规范延拓实现。