[论文解读] Reeb spaces of smooth functions on manifolds

Osamu Saeki|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文证明了在紧致流形上具有有限个临界值的光滑函数的Reeb空间是一个不含环路的有限图，并进一步证明了任一此类图均可作为具有预设水平集拓扑结构的光滑函数的Reeb空间实现。此外，本文还表明，任何从紧致流形到有限图的连续映射，若在基本群上诱导出满射，则同伦于此类函数的Reeb空间商映射。

ABSTRACT

The Reeb space of a continuous function is the space of connected components of the level sets. In this paper we first prove that the Reeb space of a smooth function on a closed manifold with finitely many critical values has the structure of a finite graph without loops. We also show that an arbitrary finite graph without loops can be realized as the Reeb space of a certain smooth function on a closed manifold with finitely many critical values, where the corresponding level sets can also be preassigned. Finally, we show that a continuous map of a smooth closed connected manifold to a finite connected graph without loops that induces an epimorphism between the fundamental groups is identified with the natural quotient map to the Reeb space of a certain smooth function with finitely many critical values, up to homotopy.

研究动机与目标

• 刻画具有有限个临界值的紧致流形上光滑函数的Reeb空间的拓扑结构。
• 证明任一不含环路的有限图均可作为具有有限个临界值的紧致流形上光滑函数的Reeb空间。
• 通过Reeb空间商映射建立从紧致流形到有限无环路图的连续映射的同伦分类。
• 提供一个带装饰图的实现定理，其中预先指定了顶点和边对应的水平集微分同胚类型。
• 证明基本群满同态条件对于映射同伦于Reeb空间商映射而言既是必要也是充分的。

提出的方法

• 使用拓扑技术（特别是关于孤立临界值处有限连通分支的引理3.8）证明具有有限个临界值的光滑函数的Reeb空间是一个不含环路的有限图。
• 通过在柄上粘合非奇异函数与在顶点上使用常值函数的方法构造流形上的光滑函数，同时满足边界微分同胚的一致性条件。
• 利用手术技术在源流形中嵌入对应于目标图边的$(m-1)$维子流形。
• 应用同伦与管状邻域构造，确保在函数组装过程中各分量的不相交性与光滑粘合。
• 利用图除去其顶点后的可缩性，建立商映射与给定连续映射之间的同伦等价。
• 利用$m$-带装饰图的概念，编码预先指定的水平集分量的微分同胚类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限个临界值的光滑函数在紧致流形上的Reeb空间具有何种拓扑结构？
• RQ2 任一不含环路的有限图是否均可作为具有有限个临界值和预设水平集拓扑结构的光滑函数的Reeb空间实现？
• RQ3 从紧致流形到有限无环路图的连续映射在何种条件下同伦于具有有限个临界值的光滑函数的Reeb空间商映射？
• RQ4 流形的基本群与给定图作为Reeb空间的可实现性之间有何关系？
• RQ5 如何构造一个具有有限个临界值的光滑函数，使其Reeb空间与给定的带装饰图一致？

主要发现

• 具有有限个临界值的光滑函数在紧致流形上的Reeb空间始终是一个不含环路的有限图。
• 任一不含环路的有限图均可作为具有有限个临界值的紧致流形上光滑函数的Reeb空间实现，且其水平集分量的微分同胚类型可预先指定。
• 从维度$m \geq 2$的紧致连通流形到不含环路的有限连通图的连续映射，当且仅当其在基本群上诱导出满射时，同伦于具有有限个临界值的光滑函数的Reeb空间商映射。
• 基本群条件对于此类同伦实现而言是必要且充分的。
• 图的第一贝蒂数由流形基本群的余秩上界控制，这为实现提供了拓扑障碍。
• 路径Reeb空间在具有有限个临界值的光滑函数下不必然具有图结构，但当函数仅有有限个临界点时，其与标准Reeb空间重合。