[论文解读] On reformulated zagreb indices with respect to tricyclic graphs

Shengjin Ji, Xia Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Graph theory and applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过使用能增加或减少该指标的图运算，表征了关于第一重构Zagreb指标（$EM_1$）的极值三环图。证明了在阶为$n$的三环图中，$EM_1$的最小值为$4n + 68$，当且仅当图属于特定家族$\tilde{\mathcal{C}}_n^1$时达到；最大值为$n^3 - 5n^2 + 20n + 32$，当且仅当图同构于$S_n^{n+2}$或$S_n^{K_4}$时达到，方法包括基于边度的运算与结构分析。

ABSTRACT

The authors Mili$\breve{c}$evi$\acute{c}$ et al. introduced the reformulated Zagreb indices, which is a generalization of classical Zagreb indices of chemical graph theory. In the paper, we characterize the extremal properties of the first reformulated Zagreb index. We first introduce some graph operations which increase or decrease this index. Furthermore, we will determine the extremal tricyclic graphs with minimum and maximum the first Zagreb index by these graph operations.

研究动机与目标

• 确定使第一重构Zagreb指标（$EM_1$）最小化和最大化的极值三环图。
• 引入并分析能严格增加或减少$EM_1$的图运算，以实现三环图的结构变换。
• 为所有阶为$n$的连通三环图建立$EM_1$的紧下界和上界。
• 通过组合与代数分析，识别出达到极值$EM_1$的图的确切家族。
• 将先前关于$EM_1$在无环图、单环图和双环图中的结果推广至三环图情形。

提出的方法

• 引入四种图运算（I、II、III、IV），通过重新定位悬挂边来改变边度，系统性地改变$EM_1$。
• 基于边度变换，使用运算I、II和IV来增加$EM_1$，使用运算III来减少$EM_1$。
• 应用边度定义：对于边$e = uv$，有$\text{deg}(e) = \text{deg}(u) + \text{deg}(v) - 2$，且当边$e$与$f$共享一个顶点时，定义$e \sim f$。
• 采用结构简化：任何三环图均可通过运算转化为不含悬挂顶点的三环核心图，即属于$\mathscr{C}_n^0$集合。
• 对$\mathscr{C}_n^0$、$\mathscr{C}_n^1$和$\mathscr{C}_n^2$中的基图进行有向计算，以确定极值。
• 应用不等式与代数展开，证明在运算下$EM_1$的严格单调性，从而确保极值图被唯一表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有阶为$n$的连通三环图中，第一重构Zagreb指标$EM_1$的最小值是多少？
• RQ2 哪些三环图达到最小的$EM_1$值，其结构特征是什么？
• RQ3 在所有阶为$n$的连通三环图中，$EM_1$的最大值是多少？
• RQ4 哪些三环图达到最大的$EM_1$值，它们与星形扩展图有何关系？
• RQ5 特定图运算如何影响$EM_1$指标，能否用于系统性地达到极值图？

主要发现

• 对于任意阶为$n$的三环图$G$，$EM_1(G)$的最小值为$4n + 68$，当且仅当$G$属于家族$\mathscr{C}_n^1$时达到。
• 对于任意阶为$n$的三环图$G$，$EM_1(G)$的最大值为$n^3 - 5n^2 + 20n + 32$，当且仅当$G \cong S_n^{n+2}$或$G \cong S_n^{K_4}$时达到。
• 达到最小$EM_1$的极值图具有特定的核心结构，其边度和悬挂边的附着方式受到严格控制。
• 达到最大$EM_1$的极值图是通过将$n+2$条悬挂边附着于基图的中心顶点而形成的$S_n^{n+2}$，或通过将边附着于$K_4$核心而形成的$S_n^{K_4}$。
• 运算I、II和IV严格增加$EM_1$，而运算III严格减少$EM_1$，从而可系统性地将图变换为极值形式。
• 分析确认，通过直接代数计算，$\mathscr{C}_n^0$和$\mathscr{C}_n^2$中基图的$EM_1$值可给出极值界限。