[论文解读] On Regularised Quantum Dimensions of the Singlet Vertex Operator Algebra and False Theta Functions

Thomas Creutzig, Antun Milas+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用 26

一句话总结

本文通过复参数 𝜖 引入了一种针对非 C2-余有限单子顶点算子代数中量子维数的正则化程序，将其与伪 theta 函数及量子模形式联系起来。通过 𝜖 对特征标进行形变并分析其模变换性质，作者证明：当 Re(𝜖) > 0 时，正则化后的量子维数构成一个环同构；当 Re(𝜖) < 0 时，可恢复有理 VOAs 的融合环，且向量值量子模形式编码了模张量范畴的结构常数。

ABSTRACT

We study a family of non-C2-cofinite vertex operator algebras, called the singlet vertex operator algebras, and connect several important concepts in the theory of vertex operator algebras, quantum modular forms, and modular tensor categories. More precisely, starting from explicit formulae for characters of modules over the singlet vertex operator algebra, which can be expressed in terms of false theta functions and their derivatives, we first deform these characters by using a complex parameter {\epsilon}. We then apply modular trans- formation properties of regularised partial theta functions to study asymptotic behaviour of regularised characters of irreducible modules and compute their regularised quantum dimensions. We also give a purely geometric description of the regularisation parameter as a uniformisation parameter of the fusion variety coming from atypical blocks. It turns out that the quantum dimensions behave very differently depending on the sign of the real part of {\epsilon}. The map from the space of characters equipped with the Verlinde product to the space of regularised quantum dimensions turns out to be a genuine ring isomorphism for positive real part of {\epsilon} while for sufficiently negative real part of {\epsilon} its surjective image gives the fusion ring of a rational vertex operator algebra. The category of modules of this rational vertex operator algebra should be viewed as obtained through the process of a semi-simplification procedure widely used in the theory of quantum groups. Interestingly, the modular tensor category structure constants of this vertex operator algebra, can be also detected from vector valued quantum modular forms formed by distinguished atypical characters.

研究动机与目标

• 理解非 C2-余有限顶点算子代数中特征标的渐近行为，特别是单子 VOAs 的情形。
• 利用复变形参数 𝜖 定义并计算单子 VOAs 中不可约模的正则化量子维数。
• 将正则化参数几何解释为来自非典型块的融合簇的统一参数。
• 确定 Verlinde 乘积结构在不同 Re(𝜖) 符号下如何映射到正则化量子维数。
• 将有理 VOA 的模张量范畴结构常数与由非典型特征标构成的向量值量子模形式联系起来。

提出的方法

• 使用复参数 𝜖 对单子 VOAs 的特征标进行形变，以定义正则化特征标。
• 应用正则化部分 theta 函数的模变换性质，研究当 𝑞 → 0 时这些正则化特征标的渐近行为。
• 利用 Eichler 积分构造及非全纯 Eichler 积分，将全纯特征标与其在上半平面和下半平面的解析延拓联系起来。
• 从非典型特征标构造向量值量子模形式，并推导其在 SL(2, ℤ) 作用下的变换规律。
• 通过积分核将 (p+, p−)-极小模型的 S-矩阵与这些量子模形式的变换关系联系起来。
• 证明：当 Re(𝜖) > 0 时，从 Verlinde 乘积空间到正则化量子维数的映射是一个环同构；当 Re(𝜖) < 0 时，其像是有理顶点算子代数融合环的满射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复参数 𝜖 的形变下，单子 VOAs 不可约模的正则化量子维数的渐近行为如何？
• RQ2 正则化参数 𝜖 在非典型块的融合簇意义上的几何意义是什么？
• RQ3 从 Verlinde 乘积到正则化量子维数的映射是否保持环结构？若成立，其条件为何？
• RQ4 能否从由非典型特征标构成的向量值量子模形式中恢复有理 VOA 的模张量范畴结构常数？
• RQ5 伪 theta 函数及其导数的模变换性质如何与极小模型的 S-矩阵相关联？

主要发现

• 当 Re(𝜖) > 0 时，从 Verlinde 乘积空间到正则化量子维数的映射是一个真正的环同构。
• 当 Re(𝜖) 足够负时，Verlinde 乘积映射的像是有理顶点算子代数融合环的满射。
• 正则化参数 𝜖 在几何上对应于由非典型块生成的融合簇的统一参数。
• (p+, p−)-极小模型的 S-矩阵编码于由非典型特征标构成的向量值量子模形式的变换规律中。
• 向量值量子模形式 G(w) 的分量满足一个涉及 S-矩阵与修正项 g(w) 的变换规律，且 G(w) 在 H ∪ H 上全纯，在 R 上光滑。
• 证明了量子模形式 F(τ) 和 G(τ) 在有理点处的径向极限与它们的 Eichler 积分对应物一致，从而确认了其量子模性质。