[论文解读] On relative $K$-motives, weights for them, and negative $K$-groups

Mikhail V. Bondarko, A. Yu. Luzgarev|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文为良基基概形上的相对K-动机引入了Chow权结构，并将其权与负同伦不变K-群联系起来，证明了当 i < -codim(Y) 时 K_i(Y) 为零，且证明了负K-群在 codimension -i 处有支撑。该研究利用Gabber的奇异点解析化与平展上同调来界定权并建立消去结果，从而推广了Weibel关于负K-理论的猜想。

ABSTRACT

We study certain triangulated categories of $K$-motives $DK(-)$ over a wide class of base schemes, and define certain "weights" for them. We relate the weights of particular $K$-motives to (negative) homotopy invariant $K$-groups (tensored by $\mathbb{Z}[S^{-1}]$ for $S$ being the set of "non-invertible primes") $\mathcal{K}_*(-)$. Our results yield a (new) result on the vanishing of $\mathcal{K}_i(-)$ and of relative $\mathcal{K}$-groups for $i$ being "too negative"; this statement is closely related to a question of Ch. Weibel. We also prove that $\mathcal{K}_i(-)$ for $i&lt;0$ is "supported in codimension $-i$". Moreover, we establish several criteria for bounding (below) the weights of $f_*(1_Y)$ ($1_Y$ is the tensor unit in $DK(Y)$); this automatically implies the vanishing of the corresponding $E_2$-terms of Chow-weight spectral sequences (and of the factors of the corresponding Chow-weight filtrations) for any (co)homology of these motives. Our methods of bounding weights can be applied to various "motivic" triangulated categories; this yields some new statements on (constructible) complexes of étale sheaves. We also relate the weights of $K$-motives with rational coefficients to that of Beilinson motives; the Chow-weight spectral sequences converging to their $\mathbb{Q}_l$-étale (co)homology yield Deligne-type weights for the latter. Somewhat surprisingly, we are able to prove in certain ("extreme") cases that the corresponding weight bounds coming from étale (co)homology are precise. We illustrate these statements by simple examples.

研究动机与目标

• 为良基概形上的相对K-动机定义Chow权结构，扩展Voevodsky动机的先前工作。
• 将K-动机 f_* (1_Y) 的权与张量积为 Z[S^{-1}] 的负同伦不变K-群相关联。
• 证明当 i < -codim(Y) 时 K_i(Y) 为零，从而支持Weibel猜想的范畴化版本。
• 利用权界与奇异点解析技术，建立负K-群在 codimension -i 处有支撑。
• 通过平展上同调，将K-动机与Beilinson动机及Deligne型权联系起来。

提出的方法

• 在基概形 S 上构造K-动机的 triangulated 范畴 DK(S)，在非可逆素数处局部化以形成 Λ-局部化K-理论。
• 通过单位动机 1_Y 的上推导生成元，在 DK(S) 上定义Chow权结构。
• 应用Gabber的奇异点解析化来界定K-动机 f_* (1_Y) 的权，尤其适用于非有限型概形。
• 利用平展上同调与下降技术检测 DK(X) 中的权，将其与Deligne的权过滤联系起来。
• 建立收敛于平展上同调的谱序列，反映Chow-权滤子与Deligne型权。
• 利用四 functor形式语言（f_*, f_!, f^*, f^!）分析K-动机在态射下的权行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为一般基概形上的相对K-动机定义Chow权结构？
• RQ2 K-动机 f_* (1_Y) 的权在多大程度上控制负K-群 K_i(Y) 的消去？
• RQ3 负K-群的支撑能否以余维数描述？其与权界的关联如何？
• RQ4 平展上同调与Deligne权如何与K-动机上的Chow-权结构相关联？
• RQ5 从奇异点解析化导出的权界在极端情况下是否为最优？

主要发现

• 当 i < -codim(Y) 时 K_i(Y) 为零，为Weibel负K-理论问题的一个猜想提供了范畴化证明。
• 负K-群 K_i(Y) 在余维数 -i 处有支撑，即其消去受 Y 的奇异点集控制。
• 当权有下界时，f_* (1_Y) 的Chow-权谱序列的 E_2 项为零，意味着相应滤子因子平凡。
• 在特征零情形下，由Hironaka解析化导出的权界是精确的，如显式例子所示。
• 具有有理系数的K-动机的平展上同调实现了Deligne型权，将K-理论与经典Hodge理论滤子联系起来。
• 该方法可推广至构造性平展层与Voevodsky动机，从而对谱序列与滤子项获得新界。