[论文解读] On Repeated-Root Constacyclic Codes of Length $2^amp^r$ over Finite Fields

Aicha Batoul, Kenza Guenda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文表征了在 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上长度为 $2^a m p^r$ 的重复根 $\lambda$-循环码的生成多项式，其中 $a \geq 1$，$m$ 为奇数，且 $(m,p)=1$。本文建立了自对偶负循环码存在的条件，并证明在 $q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ 时，此类长度的负循环码与循环码单变量等价，扩展了此前关于具有重复根的复合长度循环码的研究结果。

ABSTRACT

In this paper we investigate the structure of repeated root constacyclic codes of length $2^amp^r$ over $\mathbb{F}_{p^s}$ with $a\geq1$ and $(m,p)=1$. We characterize the codes in terms of their generator polynomials. This provides simple conditions on the existence of self-dual negacyclic codes. Further, we gave cases where the constacyclic codes are equivalent to cyclic codes.

研究动机与目标

• 将此前关于长度为 $2^t p^r$ 和 $l p^r$ 的 $\lambda$-循环码的研究结果推广至 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上长度为 $2^a m p^r$ 的码，其中 $a \geq 1$ 且 $m$ 为奇数且与 $p$ 互素。
• 利用长度为 $m$ 的码的结构，表征长度为 $mp^r$ 的 $\lambda$-循环码的生成多项式，从而实现系统的构造。
• 确定重复根 $\lambda$-循环码与循环码单变量等价的条件，特别是针对负循环码。
• 为 $p$ 为奇数时，在 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上长度为 $2^a m p^r$ 的自对偶负循环码的存在性，建立必要且充分的条件。
• 将自对偶码理论扩展至更广泛的重复根 $\lambda$-循环码类，尤其在负循环结构背景下。

提出的方法

• 利用环同构 $\mathbb{F}_{q}[x]/\langle x^n - \lambda \rangle$ 与多项式商环之间的关系，将 $\lambda$-循环码表示为理想。
• 应用 $q$-循环码陪集与 $\mathbb{F}_{q}$ 上的最小多项式，对 $x^n - \lambda$ 进行因式分解，并推导出生成多项式。
• 利用当 $q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ 时 $\mathbb{F}_q^*$ 中存在本原 $2^{a+1}$-次单位根的性质，构造负循环码环与循环码环之间的环同构。
• 对 $x^m + 1$ 与 $x^m - 1$ 在 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上的因式分解，将不可约因子分组为自对偶与互逆对，以分析对偶性。
• 应用负循环码的对偶性条件 $A(x) = B^*(x)$，通过不可约因子的结构推导出自对偶性的条件。
• 利用引理 5.6 将 $\text{ord}_m(p^s)$ 的奇偶性与自对偶不可约多项式的存在性联系起来，从而确定自对偶码的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$ 为奇数且 $a \geq 1$ 时，在 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上长度为 $2^a m p^r$ 的自对偶负循环码存在的条件是什么？
• RQ2 在什么条件下，$\mathbb{F}_{p^s}$ 上长度为 $2^a m p^r$ 的负循环码与循环码单变量等价？
• RQ3 如何从长度为 $m$ 的码的生成多项式，显式构造长度为 $2^a m p^r$ 的 $\lambda$-循环码的生成多项式？
• RQ4 $q$-循环码陪集与自对偶不可约因子在确定重复根 $\lambda$-循环码结构中起什么作用？
• RQ5 在该扩展长度类中，$\text{ord}_m(p^s)$ 与自对偶负循环码存在的关系是什么？

主要发现

• 当 $q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ 时，$\mathbb{F}_{p^s}$ 上长度为 $2^a m p^r$ 的负循环码与循环码单变量等价，这是由于 $\mathbb{F}_q^*$ 中存在本原 $2^{a+1}$-次单位根。
• 在 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上，长度为 $2^a m p^r$ 的自对偶负循环码存在的充要条件是 $\text{ord}_m(p^s)$ 为奇数，这确保了 $x^m - 1$ 的因式分解中不包含自对偶不可约因子。
• 长度为 $2^a m p^r$ 的负循环码的生成多项式形式为 $\prod_{k=1}^{2^a} \left( \prod_{i=0}^{l} f_i^{j_i}(\alpha^{-2k+1}x) \right)$，其中 $f_i(x)$ 是 $x^m - 1$ 的首一不可约因子，$\alpha$ 是本原 $2^{a+1}$-次单位根。
• 自对偶负循环码的存在性等价于 $x^m + 1$ 的因式分解中不包含自对偶不可约因子，而这一点由 $\text{ord}_m(p^s)$ 的奇偶性决定。
• 示例：在 $\mathbb{F}_5$ 上，长度为 70 的自对偶负循环码不存在，但在 $\mathbb{F}_9$ 上，长度为 126 的自对偶负循环码存在，这说明其存在性依赖于 $\text{ord}_m(p^s)$。