[论文解读] On representations of rational Cherednik algebras in complex rank

Inna Entova-Aizenbud|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文引入并研究了在一类阿贝尔范畴 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 中的 Verma 对象，这些范畴是复秩下有理谢雷德尼克代数类别 $\mathcal{O}$ 的插值。本文建立了 Verma 对象之间非平凡态射存在的充要条件，计算了通用 $c,\nu$ 下不可约商的特征标，并证明了仅当 $c \in \mathbb{Q}_{<0}$ 时，无限长度的 Verma 对象才存在，从而证实了艾廷科夫提出的退化现象猜想。

ABSTRACT

We study a family of abelian categories O_{c, t} depending on complex parameters c, t which are interpolations of the O-category for the rational Cherednik algebra H_c(t) of type A, where t is a positive integer. We define the notion of a Verma object in such a category (a natural analogue of the notion of Verma module). We give some necessary conditions and some sufficient conditions for the existence of a non-trivial morphism between two such Verma objects. We also compute the character of the irreducible quotient of a Verma object for sufficiently generic values of parameters c, t, and prove that a Verma object of infinite length exists in O_{c, t} only if c is rational and c &lt; 0. We also show that for every rational c &lt; 0 there exists a rational t &lt; 0 such that there exists a Verma object of infinite length in O_{c, t}. The latter result is an example of a degeneration phenomenon which can occur in rational values of t, as was conjectured by P. Etingof.

研究动机与目标

• 定义并研究一族阿贝尔范畴 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$，其插值了当 $n \in \mathbb{Z}_+$ 时有理谢雷德尼克代数 $H_c(n)$ 的经典类别 $\mathcal{O}$。
• 在该插值设定中引入并分析 Verma 对象 $M_{c,\nu}(\lambda)$，作为经典 Verma 模的类比。
• 确定在 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 中，Verma 对象之间存在非平凡态射的条件。
• 计算通用 $c,\nu$ 下 Verma 对象不可约商的特征标。
• 研究 Verma 对象是否存在无限长度，并确定此类现象发生的参数值，从而证实有理 $\nu$ 下的退化现象。

提出的方法

• 将范畴 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 构造为 ${\mathrm{ind}}\text{-}{\underline{\mathrm{Rep}}}(S_\nu)$ 的全子范畴，配备用于模拟 $H_c(n)$ 中 $x_i, y_i$ 作用的态射 $x,y$。
• 将 Verma 对象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ 定义为 ${\mathrm{ind}}\text{-}{\underline{\mathrm{Rep}}}(S_\nu)$ 中的分次 ind-对象，其最低次分量由对应于杨图 $\lambda$ 的不可约对象 $X_\lambda$ 给出。
• 利用 Deligne 范畴 ${\underline{\mathrm{Rep}}}(S_\nu)$ 中的 Pieri 法则与表示论工具，分析 Verma 对象之间的合成因子与态射。
• 应用参数 $c, \nu$ 上的线性性与代数条件，推导出描述态射存在的方程，从而定义代数子簇 $\mathcal{L}_{\tau,\mu^j,m^j}$。
• 利用对 $n(\mu)$ 与 $n(\mu^\vee)$ 的界限，证明仅有有限多个杨图 $\mu$ 可满足推导出的条件，从而在通用性下证明 Verma 对象具有有限合成因子。
• 分析描述态射的方程结构，并利用 $c \notin \mathbb{Q}$ 的事实，推断出多个子簇必须重合，从而对 $C, C'$ 施加约束，最终证明有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些复参数 $c, \nu$，存在非平凡态射从 Verma 对象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ 到 $M_{c,\nu}(\mu)$？
• RQ2 对于通用 $c, \nu$，Verma 对象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ 的不可约商的特征标是什么？
• RQ3 在 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 中，Verma 对象具有无限长度的条件是什么？
• RQ4 在有理 $\nu$ 值下观察到的退化现象能否系统地解释，特别是与负有理数 $c$ 的关系如何？
• RQ5 Verma 对象的合成因子数量是否有限，其参数条件为何？

主要发现

• Verma 对象 $M_{c,\nu}(\tau)$ 与 $M_{c,\nu}(\mu)$ 之间存在非平凡态射，仅当参数 $c, \nu$ 满足由 $S^{m^j}\mathfrak{h}_0 \otimes \tau$ 的结构与 Pieri 法则导出的代数方程组时成立。
• 当 $c, \nu$ 足够通用时，Verma 对象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ 的不可约商的特征标被计算为 ${\underline{\mathrm{Rep}}}(S_\nu)$ 中不可约对象的直和，其重数由相应杨图的结构决定。
• 在 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 中，仅当 $c \in \mathbb{Q}_{<0}$ 时，才存在无限长度的 Verma 对象，从而对参数 $c$ 建立了精确条件。
• 对每个 $c \in \mathbb{Q}_{<0}$，存在 $\nu \in \mathbb{Q}_{<0}$，使得在 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 中存在无限长度的 Verma 对象，从而证实了在有理 $\nu$ 下的退化现象。
• 当 $c \notin \mathbb{Q}$ 时，任意 Verma 对象 $M_{c,\nu}(\tau)$ 的合成因子数量有限，这是由于在推导出的约束下，$|\mu|$ 与 $\ell(\mu)$ 受到有界。
• 分析表明，在通用性条件下，存在态射的杨图 $\mu$ 的集合是有限的，这是由于次数 $m^j$、大小 $|\mu|$ 与 $n(\mu^\vee)$ 项（其随 $\ell(\mu)$ 的平方增长）之间的相互作用所致。