[论文解读] Unitary representations of rational Cherednik algebras

Pavel Etingof, Emanuel Stoica+1 more|ArXiv.org|Jan 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文通过分析 Cherednik-Dunkl 子代数的谱并运用互变子技术，对有理 Cherednik 代数的单位化最低权表示进行分类，特别关注 A 型情形。它完全确定了 A 型的单位化locus，证明单位化表示恰好出现在一个连续区间和离散的有理点上，并解决了 Cherednik 关于多项式表示不可约子模单位化的问题。

ABSTRACT

We study unitarity of lowest weight irreducible representations of rational Cherednik algebras. We prove several general results, and use them to determine which lowest weight representations are unitary in a number of cases. In particular, in type A, we give a complete description of the unitarity locus (justified in Section 5 and appendix by Stephen Griffeth), and resolve a question by Cherednik on the unitarity of the irreducible subrepresentation of the polynomial representation. Also, as a by-product, we establish Kasatani's conjecture in full generality (the previous proof by Enomoto assumes that the parameter c is not a half-integer).

研究动机与目标

• 对有理 Cherednik 代数的单位化最低权不可约表示进行分类，特别关注有限 Coxeter 群的情形。
• 解决 I. Cherednik 提出的问题：在 A 型中，多项式模的不可约子表示的单位化性质如何？
• 在不施加参数 c 的半整数限制下，完全确立 Kasatani 关于有理 Cherednik 代数多项式表示结构的猜想。
• 完全确定 A 型有理 Cherednik 代数的单位化locus，识别出连续与离散两部分。
• 将单位化表示的分类从先前 Enomoto 工作中假设的半整数限制扩展至更一般情形。

提出的方法

• 利用由 $ z_1, dots, z_n $ 生成的 Cherednik-Dunkl 子代数，通过权空间分析其在表示上的作用。
• 将 Suzuki 定理（关于整数参数值 $ ho = -1/c otin rac{1}{2}Z $ 时表示的可对角化性）推广至所有 $ ho otin rac{1}{2}Z $。
• 通过余不变赫米特形式及其正定性条件定义单位化，将问题转化为 $ rak{t} $-权的谱分析。
• 运用互变子技术及 Griffeth 附录的结果，证明 A 型中单位化locus 的完整分类。
• 应用如下条件：当且仅当 $ L_ ho( au) $ 的 $ rak{t} $-权满足 $ ext{Re}( ext{ct}(T^{-1}(n-i+1)) + ho) eq 0 $ 且 $ ( ext{ct}(T_i) - ext{ct}(T_{i+1}))^2 eq 1 $ 时，其形式为正定，从而保证单位化。
• 利用标准表和内容函数的结构，刻画权谱并验证赫米特形式的正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些参数 $ c $ 值，有理 Cherednik 代数的最低权不可约表示 $ L_c( au) $ 是单位化的？
• RQ2 当 $ c = 1/m $ 且 $ 2 eq m eq n $ 时，$ H_c(S_n, C^n) $ 的多项式表示的不可约子模 $ N_c $ 是否是单位化的？
• RQ3 Kasatani 关于 A 型有理 Cherednik 代数多项式表示结构的猜想是否在不施加 $ c otin rac{1}{2}Z $ 限制下依然成立？
• RQ4 A 型有理 Cherednik 代数的单位化locus $ U( au) $ 的完整描述是什么？
• RQ5 单位化表示的分类能否推广至其他复反射群（如 $ G(r,p,n) $）？实现此类推广所缺少的关键要素是什么？

主要发现

• A 型有理 Cherednik 代数的单位化locus $ U( au) $ 被完全描述：它由区间 $ [-1/ ho, 1/ ho] $（其中 $ ho $ 是 $ \tau $ 的最大钩长）和一组离散点 $ \rho = 1/j $（$ j $ 为整数）构成。
• 对于平凡表示与符号表示，其单位化locus 分别为 $ (-\infty, 1/n] $ 和 $ [-1/n, \infty) $。
• 当 $ c = 1/m $ 且 $ 2 \neq m \neq n $ 时，多项式表示的不可约子模 $ N_c $ 是单位化的，其单位化结构由 Macdonald-Mehta 积分配对给出。
• Kasatani 关于 A 型有理 Cherednik 代数多项式表示结构的猜想在完全一般情形下得到证明，无需假设 $ c \notin \frac{1}{2}\bZ $。
• 通过 S. Griffeth 的论证（利用 Cherednik 的互变子和 Suzuki 定理）完成了 A 型中单位化表示完整分类的证明，解决了论文主体部分的一个漏洞。
• 表示 $ L_\rho(\tau) $ 的单位化性等价于其 $ \frak{t} $-权满足 $ \text{Re}(\text{ct}(T^{-1}(n-i+1)) + \rho) \neq 0 $ 且 $ (\text{ct}(T_i) - \text{ct}(T_{i+1}))^2 \neq 1 $，从而保证赫米特形式的正定性。