[论文解读] On Robust Utility Maximization

Traian A. Pirvu, Ulrich G. Haussmann|ArXiv.org|Feb 24, 2007

Risk and Portfolio Optimization参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过在投资者财富中引入一个修正项，解决了在停止时间下的最优投资组合选择中的时间不一致性问题，实现了鲁棒的效用最大化。对于非对数效用函数，该修正项可分解为保险费与消费，确保在随机投资期限下策略的不变性，其显式表征通过布朗运动框架下的Clark-Haussmann-Ocone公式与对偶方法完成。

ABSTRACT

This paper studies the problem of optimal investment in incomplete markets, robust with respect to stopping times. We work on a Brownian motion framework and the stopping times are adapted to the Brownian filtration. Robustness can only be achieved for logartihmic utility, otherwise a cashflow should be added to the investor s wealth. The cashflow can be decomposed into the sum of an increasing and a decreasing process. The last one can be viewed as consumption. The first one is an insurance premium the agent has to pay.

研究动机与目标

• 解决当投资期限为停止时间而非固定日期时，最优投资策略中的时间不一致性问题。
• 将现有关于投资组合优化中鲁棒性的结果扩展至对数效用以外的情形，因为对数效用是唯一在无需修改时策略保持时间一致性的案例。
• 表征一个修正项过程，当其被加至财富时，可恢复一般效用函数下的时间一致性。
• 说明该修正项如何被融资，特别是识别其作为消费流或保险费的条件。
• 利用随机微积分与对偶技术，在布朗运动过滤下建立修正项的唯一性与显式表示。

提出的方法

• 使用由布朗运动驱动的市场模型，并采用适应的停止时间来建模随机投资期限。
• 应用对偶方法与最小鞅测度，将动态优化问题转化为静态问题。
• 引入一个修正项过程 $ V_x(t) $，其被分解为递增（保险费）与递减（消费）两部分。
• 利用Clark-Haussmann-Ocone公式显式计算过程 $ \beta(t) $，代表修正项。
• 利用边际效用函数 $ I(\cdot) $ 的逆函数与对偶变量 $ \mathcal{Y}_t(x) $ 来表征最优财富过程。
• 利用最小鞅测度下财富过程的鞅性质，推导出最优性的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非对数效用函数下，最优投资在何种条件下对停止时间具有鲁棒性？
• RQ2 如何构建一个修正项，以在随机期限下恢复投资组合选择的时间一致性？
• RQ3 修正项的经济解释是什么？在实践中如何为其融资？
• RQ4 相对风险规避系数与谨慎性系数如何影响修正项的符号与结构？
• RQ5 修正项能否显式计算？在何种条件下其为有限变差过程？

主要发现

• 在不使用修正项的情况下，仅对数效用函数能实现最优投资策略的鲁棒性；对于其他效用函数，必须引入修正项。
• 修正项 $ V_x(t) $ 是有限变差过程，可分解为递增过程（保险费）与递减过程（消费）。
• 当谨慎性系数小于相对风险规避系数的两倍时，修正项为负，意味着投资者可将其作为消费使用。
• 最优策略当且仅当对偶变量 $ \mathcal{Y}_t(x) $ 随时间恒定，才具有时间一致性，而这一点仅在修正项满足特定条件时成立。
• 修正项 $ \beta(t) $ 可通过Clark-Haussmann-Ocone公式显式计算，从而提供一个可处理的表示形式。
• 通过效用函数的严格凹性与对偶论证，确立了最优财富过程的唯一性。