[论文解读] On self-dual and LCD double circulant and double negacirculant codes over $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$

Minjia Shi, Hongwei Zhu+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文研究了在环 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上的自偶与 LCD 双循环码和双负循环码，其中 $u^2 = u$，建立了精确的计数公式，并通过保持对偶性的 Gray 映射证明了存在长度任意长、固定速率且相对距离下限为正的常数的码。关键贡献在于构造了在有限域上具有最优或近似最优参数的自偶与 LCD 码的良好族。

ABSTRACT

Double circulant codes of length $2n$ over the semilocal ring $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q,\, u^2=u,$ are studied when $q$ is an odd prime power, and $-1$ is a square in $\mathbb{F}_q.$ Double negacirculant codes of length $2n$ are studied over $R$ when $n$ is even and $q$ is an odd prime power. Exact enumeration of self-dual and LCD such codes for given length $2n$ is given. Employing a duality-preserving Gray map, self-dual and LCD codes of length $4n$ over $\mathbb{F}_q$ are constructed. Using random coding and the Artin conjecture, the relative distance of these codes is bounded below. The parameters of examples of the modest length are computed. Several such codes are optimal.

研究动机与目标

• 将双循环码与双负循环码的理论从有限域扩展到环 $\\mathbb{F}_q + u\\mathbb{F}_q$，其中 $u^2 = u$，以支持更丰富的码构造。
• 在给定长度 $2n$ 及对 $q$ 和 $n$ 的条件时，确定这些族中自偶与 LCD 码的确切数量。
• 利用从环 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 到 $\mathbb{F}_q$ 的保持对偶性的 Gray 映射，构造 $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $4n$ 的自偶与 LCD 码。
• 通过随机编码方法与 Artin 猜想，建立这些码的 Gray 映像的相对汉明距离的渐近下界。
• 计算显式例子，并证明所构造的某些码在 $\mathbb{F}_5$ 上达到了其参数的最佳已知最小距离。

提出的方法

• 采用中国剩余定理（CRT）方法将环 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 分解为域的乘积，从而通过其分量分析码。
• 当 $q$ 为 2 的幂或 $q \equiv 1 \pmod{4}$，或 $q = p^{2b}$ 且 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，利用 $R$ 中 $-1$ 的平方根存在性来定义双循环码。
• 当 $n$ 为偶数且 $q$ 为奇素数幂时，利用 Dickson 多项式对 $x^n + 1$ 的因式分解，定义 $R$ 上的双负循环码。
• 应用保持对偶性的 Gray 映射 $\phi$：$R$ 上的自偶码映射为 $\mathbb{F}_q$ 上的自偶码，$R$ 上的 LCD 码映射为 $\mathbb{F}_q$ 上的 LCD 码。
• 使用随机编码论证与 Artin 猜想（在 GRH 条件下），对 Gray 映像码的相对距离进行下界估计。
• 利用生成矩阵与 CRT 分解的结构，计数满足自偶或 LCD 条件的有效码的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么 $q$ 与 $n$ 的条件下，自偶与 LCD 双循环码存在于 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上？
• RQ2 在 $R$ 上长度为 $2n$ 的自偶与 LCD 双循环码和双负循环码的确切数量是多少？
• RQ3 从 $R$ 到 $\mathbb{F}_q^2$ 的 Gray 映射能否用于构造 $\mathbb{F}_q$ 上具有良好渐近参数的自偶与 LCD 码？
• RQ4 当 $n \to \infty$ 时，这些码的 Gray 映像的相对汉明距离的渐近下界是什么？
• RQ5 所构造的码是否达到或接近在 $\mathbb{F}_q$ 上其长度与维度的最佳已知最小距离？

主要发现

• 当 $q$ 为奇数且 $-1$ 是 $\mathbb{F}_q$ 中的平方时，若 $n$ 为偶数，则 $R$ 上长度为 $2n$ 的自偶双循环码的数量恰好为 $q^{n/2}$。
• 在相同条件下，$R$ 上长度为 $2n$ 的 LCD 双循环码的数量恰好为 $q^{3n/2}$。
• 对于双负循环码，当 $n$ 为 2 的幂时，自偶码的数量为 $q^{n/2}$，LCD 码的数量为 $q^{3n/2}$。
• 在分解 I 下，$R$ 上自偶双负循环码的 Gray 映像的相对距离 $\delta$ 满足 $H_q(\delta) \geq \frac{1}{8}$；在分解 II 下，满足 $H_q(\delta) \geq \frac{1}{16}$。
• 在分解 I 下，$R$ 上 LCD 双负循环码的 Gray 映像满足 $H_q(\delta) \geq \frac{1}{8}$；在分解 II 下，满足 $H_q(\delta) \geq \frac{1}{16}$，证明了这些族是优良码。
• 在 $\mathbb{F}_5 + u\mathbb{F}_5$ 上的显式例子表明，若干所构造的码达到了其参数的最佳已知最小距离，如表 1 和表 2 中的 $*$ 所示。