[论文解读] ON SEMI-INVARIANTS OF FILTERED REPRESENTATIONS OF QUIVERS AND THE COTANGENT BUNDLE OF THE ENHANCED GROTHENDIECK-SPRINGER RESOLUTION

Mee Seong Im|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文引入了过滤奎iver表示作为奎iver表示的推广，重点关注有限ADE与仿射ẽA-Dynkin奎iver的不变多项式。通过几何不变理论与矩映射技术，建立了过滤奎iver概形的半不变量与增强格罗滕迪克-斯普林格解析的余切丛之间的联系，以分析模空间及其奇点集。

ABSTRACT

We introduce the notion of filtered representations of quivers, which is related to usual quiver representations, but is a systematic generalization of conjugacy classes of $n imes n$ matrices to (block) upper triangular matrices up to conjugation by invertible (block) upper triangular matrices. With this notion in mind, we describe the ring of invariant polynomials for interesting families of quivers, namely, finite $ADE$-Dynkin quivers and affine type $\widetilde{A}$-Dynkin quivers. We then study their relation to an important and fundamental object in representation theory called the Grothendieck-Springer resolution, and we conclude by stating several conjectures, suggesting further research.

研究动机与目标

• 通过引入过滤奎iver表示，推广奎iver表示，将共轭类的概念扩展至在块上三角共轭下的一般块上三角矩阵。
• 利用过滤奎iver概形，描述有限ADE-Dynkin与仿射ẽA-Dynkin奎iver的不变多项式环。
• 建立过滤奎iver不变量与增强格罗滕迪克-斯普林格解析（特别是其余切丛）之间的几何联系。
• 通过几何不变理论与哈密顿约化，分析矩映射的奇点集与模空间的结构。
• 提出关于半不变量环结构与过滤奎iver概形模空间的射影性的猜想。

提出的方法

• 将过滤奎iver概形定义为奎iver格拉斯曼流形与奎iver旗流形的子概形，参数化具有固定子表示旗的表示。
• 应用Derksen-Weyman、Domokos-Zubkov与Schofield-van den Bergh的方法，计算过滤奎iver表示的半不变量。
• 通过Borel与Pβ矩映射，利用哈密顿约化与矩映射技术，研究增强格罗滕迪克-斯普林格解析的余切丛。
• 应用几何不变理论（GIT），通过Borel与抛物子群的特征，构造χ-半稳定过滤奎iver表示的模空间。
• 通过计算定义关系的偏导数，分析矩映射的奇点集，并确定雅可比矩阵为零的条件。
• 通过特征χ与χ′构造不同GIT商之间的墙穿跃映射，将其与希尔伯特-夏劳伊森映射及模空间的射影性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 过滤奎iver表示的半不变量环在有限ADE-Dynkin与仿射ẽA-Dynkin奎iver上的结构是怎样的？
• RQ2 过滤奎iver概形如何与格罗滕迪克-斯普林格解析及其增强余切丛相关联？
• RQ3 在何种条件下，矩映射零纤维的GIT商是射影代数簇？
• RQ4 当维度向量不可约时，χ-稳定过滤奎iver表示的模空间何时为精细模空间，特别是对于不可约维度向量？
• RQ5 Borel与抛物作用在过滤奎iver概形上的矩映射的奇点集的精确描述是什么？

主要发现

• G-矩映射的奇点集恰好出现在r11 = r22且s11 = s22时，对应于C²平面上的重合点。
• 对于B-矩映射，奇点集由定义关系ψ = −2T² + 2R1S1T + 2R2S2 − S2R²₁ − R2S²₁的雅可比行列式为零所定义。
• 零纤维µ⁻¹_B(0)至少有2n个不可约分支；若定义理想为正则序列，则恰好有2n个分支，分别对应于初等向量或余向量。
• 映射µ⁻¹_B(0)//χB → µ⁻¹_B(0)//B与希尔伯特-夏劳伊森映射(C²)^[n] → SⁿC²相关，ψχ,χ′表示不同壁间区域的墙穿跃。
• 对于Pβ作用，当零纤维为完全交且特征χ为通用时，GIT商µ⁻¹_Pβ(0)//χPβ是满射且射影的。
• 当维度向量β不可约时，稳定部分MF•_χ(Q,β)^s预计为光滑且等于整个模空间MF•_χ(Q,β)，基于通用特征的稠密性。