[论文解读] On semitopological interassociates of the bicyclic monoid

Олег Гутік, Kateryna Maksymyk|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2016

semigroups and automata theory参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文研究双循环幺半群的半拓扑互伴结构 $\mathscr{C}_{m,n}$，其中 $m$ 和 $n$ 为非负整数。研究结果表明，任何使 $\mathscr{C}_{m,n}$ 成为半拓扑幺半群的豪斯多夫拓扑必为离散拓扑；并证明当局部紧致且豪斯多夫时，扩展幺半群 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$ 要么离散，要么紧致。

ABSTRACT

Semitopological interassociates $\mathscr{C}_{m,n}$ of the bicyclic semigroup $\mathscr{C}(p,q)$ are studied. In particular, we show that for arbitrary non-negative integers $m$, $n$ and every Hausdorff topology $τ$ on $\mathscr{C}_{m,n}$ such that $\left(\mathscr{C}_{m,n},τ ight)$ is a semitopological semigroup, is discrete. Also, we prove that if an interassociate of the bicyclic monoid $\mathscr{C}_{m,n}$ is a dense subsemigroup of a Hausdorff semitopological semigroup $(S,\cdot)$ and $I=S\setminus\mathscr{C}_{m,n} eq\varnothing$ then $I$ is a two-sided ideal of the semigroup $S$ and show that for arbitrary non-negative integers $m$, $n$, any Hausdorff locally compact semitopological semigroup $\mathscr{C}_{m,n}^0=\mathscr{C}_{m,n}\sqcup\{0\}$ is either discrete or compact.

研究动机与目标

• 分析通过运算 $a \ast_{m,n} b = a q^m p^n b$ 定义的双循环幺半群 $\mathscr{C}(p,q)$ 的互伴结构 $\mathscr{C}_{m,n}$ 的拓扑性质。
• 将已知关于双循环幺半群的结果（如唯一离散拓扑、含零元时的紧致/离散二分性）推广至其互伴结构。
• 研究 $\mathscr{C}_{m,n}$ 作为豪斯多夫半拓扑幺半群 $S$ 中的稠密子幺半群时，余集 $I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n}$ 的结构特征。
• 在豪斯多夫局部紧致半拓扑结构下，确定扩展幺半群 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$ 的拓扑行为。

提出的方法

• 利用子幺半群 $\mathscr{C}_{m,n}^* = \{q^{n+k}p^{m+l} \mid k,l \in \mathbb{N}_0\}$ 与原始双循环幺半群 $\mathscr{C}(p,q)$ 之间的同构关系，实现已知性质的转移。
• 应用遗传商映射与 Din’ N’e T’ong 定理，分析在商拓扑下 $\mathscr{C}_{m,n}^I / I$ 的商空间结构。
• 运用半拓扑幺半群中紧致理想的观念，并利用如下事实：豪斯多夫半拓扑幺半群关于紧致理想的 Rees 商仍为豪斯多夫且半拓扑。
• 利用如下性质：若自然同态为遗传商映射，且每个点的原像均为紧致，则商空间为局部紧致。
• 分析 $\mathscr{C}_{m,n}^I$ 中开集与闭集的结构，证明若理想 $I$ 不是开集，则空间必为紧致。
• 依赖于在任意豪斯多夫半拓扑设定下 $\mathscr{C}_{m,n}$ 的离散性，该性质源于幺半群运算的分离连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\mathscr{C}_{m,n}$ 拓扑下，幺半群运算具有分离连续性？其拓扑约束为何？
• RQ2 能否存在非离散的豪斯多夫半拓扑结构于 $\mathscr{C}_{m,n}$ 上？
• RQ3 当 $\mathscr{C}_{m,n}$ 是豪斯多夫半拓扑幺半群 $S$ 的稠密子幺半群时，余集 $I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n}$ 的结构如何？
• RQ4 在豪斯多夫局部紧致拓扑下，扩展幺半群 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$ 是否存在离散或紧致的拓扑二分性？
• RQ5 若 $\mathscr{C}_{m,n}^I$ 中存在紧致理想 $I$，其对空间整体拓扑有何影响？

主要发现

• 对任意非负整数 $m$ 和 $n$，任何使 $\mathscr{C}_{m,n}$ 成为半拓扑幺半群的豪斯多夫拓扑必为离散拓扑。
• 若 $\mathscr{C}_{m,n}$ 是豪斯多夫半拓扑幺半群 $S$ 的稠密子幺半群，且 $I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n} \neq \varnothing$，则 $I$ 是 $S$ 的双边理想。
• 在任意豪斯多夫局部紧致半拓扑结构下，扩展幺半群 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$ 要么离散，要么紧致。
• 若 $\mathscr{C}_{m,n}^I = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup I$ 是豪斯多夫局部紧致半拓扑幺半群，且 $I$ 为紧致理想，则 $\mathscr{C}_{m,n}^I$ 要么紧致，要么 $I$ 为开集。
• 在商拓扑下，Rees 商 $\mathscr{C}_{m,n}^I / I$ 与 $\mathscr{C}_{m,n}^0$ 拓扑同构，并继承豪斯多夫性与局部紧致性。
• 自然商映射 $\pi: \mathscr{C}_{m,n}^I \to \mathscr{C}_{m,n}^I / I$ 为遗传商映射，从而可应用 Din’ N’e T’ong 定理，推导出商空间的紧致性。