[论文解读] On sofic groups, Kaplansky's conjectures, and endomorphisms of pro-algebraic groups

Xuan Kien Phung|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Cellular Automata and Applications参考文献 38被引用 12

一句话总结

该论文为阿贝尔群细胞自动机在索菲克群和可温群上的可逆性与可逆性建立了判据，证明了当域的特征为零且群为索菲克群时，单射的此类自动机是可逆的。该研究将卡普兰斯基猜想推广至一个新的近环结构，表明在可排序群中单边可逆元是平凡的，从而对 $\mathbb{Z}^d$ 或自由群等群上的单射细胞自动机给出了强有力的结构刻画。

ABSTRACT

Let $G$ be a group. Let $X$ be a connected algebraic group over an algebraically closed field $K$. Denote by $A=X(K)$ the set of $K$-points of $X$. We study a class of endomorphisms of pro-algebraic groups, namely algebraic group cellular automata over $(G,X,K)$. They are cellular automata $\ au \\colon A^G \ o A^G$ whose local defining map is induced by a homomorphism of algebraic groups $X^M \ o X$ where $M\\subset G$ is a finite memory set of $\ au$. Our first result is that when $G$ is sofic, such an algebraic group cellular automaton $\ au$ is invertible whenever it is injective and $\ ext{char}(K)=0$. As an application, we prove that if $G$ is sofic and the group $X$ is commutative then the group ring $R[G]$, where $R=\ ext{End}(X)$ is the endomorphism ring of $X$, is stably finite. When $G$ is amenable, we show that an algebraic group cellular automaton $\ au$ is surjective if and only if it satisfies a weak form of pre-injectivity called $(\\bullet)$-pre-injectivity. This yields an analogue of the classical Moore-Myhill Garden of Eden theorem. We also introduce the near ring $R(K,G)$ which is $K[X_g: g \\in G]$ as an additive group but the multiplication is induced by the group law of $G$. The near ring $R(K,G)$ contains naturally the group ring $K[G]$ and we extend Kaplansky's conjectures to this new setting. Among other results, we prove that when $G$ is an orderable group, then all one-sided invertible elements of $R(K,G)$ are trivial, i.e., of the form $aX_g+b$ for some $g\\in G$, $a\\in K^*$, $b\\in K$. This allows us to show that when $G$ is locally residually finite and orderable (e.g. $\\mathbb{Z}^d$ or a free group), and $\ ext{char}(K)=0$, all injective algebraic cellular automata $\ au \\colon \\mathbb{C}^G \ o \\mathbb{C}^G$ are of the form $\ au(x)(h)= a x(g^{-1}h) +b$ for all $x\\in \\mathbb{C}^G, h \\in G$ for some $g\\in G$, $a\\in \\mathbb{C}^*$, $b\\in \\mathbb{C}$.

研究动机与目标

• 为索菲克群和可温群上的代数群细胞自动机建立可逆性判据。
• 将卡普兰斯基的有限性与零因子猜想推广至由群作用于代数簇构造的新近环 $R(K,G)$。
• 刻画局部剩余有限且可排序群上单射代数细胞自动机的结构。
• 为可温群上的代数群细胞自动机证明花园之园定理的一个版本。
• 通过反例阐明将结果推广至非代数群细胞自动机的局限性。

提出的方法

• 将近环 $R(K,G)$ 定义为 $K[X_g : g \in G]$，其中加法为群环结构，乘法由群 $G$ 的群运算诱导。
• 将代数群细胞自动机定义为 $G$-等变映射 $\tau: A^G \to A^G$，其局部规则源于有限子集 $M \subset G$ 上的代数群同态 $X^M \to X$。
• 利用拟离散拓扑与逆极限技术分析此类自动机的像与原像结构。
• 应用符号动力系统与代数几何的结果，特别是 Ax-Grothendieck 定理与 Gromov 的满射性结果。
• 引入 $(\bullet)$-预单射性作为预单射性的弱形式，用于刻画可温群情形下的满射性。
• 通过在仿射簇上使用非满射的主导态射及非代数逆映射构造反例，以说明假设的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，索菲克群上的单射代数群细胞自动机是可逆的？
• RQ2 代数群细胞自动机在何时是满射的？这与可温情形下的预单射性有何关联？
• RQ3 在近环 $R(K,G)$ 中，单边可逆元的结构是什么？这与细胞自动机的动力学有何关系？
• RQ4 经典的 Moore-Myhill 花园之园定理能否推广至代数群细胞自动机的设定？
• RQ5 将结果推广至非代数细胞自动机时存在哪些限制？反例如何说明这一点？

主要发现

• 当 $G$ 为索菲克群且 $\operatorname{char}(K) = 0$ 时，每个单射代数群细胞自动机 $\tau: A^G \to A^G$ 都是可逆的。
• 对于可温群 $G$，代数群细胞自动机是满射的当且仅当其满足 $(\bullet)$-预单射性，从而得到花园之园定理的一个版本。
• 在近环 $R(K,G)$ 中，当 $G$ 为可排序群时，所有单边可逆元均为平凡元（形式为 $aX_g + b$），这意味着对细胞自动机施加了强烈的结构约束。
• 对于局部剩余有限且可排序的群（如 $\mathbb{Z}^d$ 或自由群），每个单射细胞自动机 $\tau: \mathbb{C}^G \to \mathbb{C}^G$ 均具有形式 $\tau(x)(h) = a x(g^{-1}h) + b$，其中 $g \in G$，$a \in \mathbb{C}^*$，$b \in \mathbb{C}$。
• 反例表明，若 $K$ 不是代数闭域，或局部映射不是群同态，则即使自动机是单射但非满射，结果也会失效。
• 代数细胞自动机的逆可能不是代数的，如 $\mathbb{G}_m$ 上的弗罗贝尼乌斯映射所示，其为双射但具有非代数逆。