[论文解读] On some classes of Abel-Grassmann's groupoids

Madad Khan, Faisal Faisal+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文研究了具有左单位元的阿贝尔-格劳斯曼群oids（AG-群oids）中各种正则性类——弱正则、内部正则、右正则、左正则、左拟正则和完全正则——之间的结构等价性。研究证明，在此类结构中，所有这些正则性概念均等价，建立了完全等价性。主要贡献在于将这些正则性概念统一于单一框架下，表明在具有左单位元的 AG-群oids 中，所有形式的正则性均等价，并且蕴含群oids 等于其平方（S = S²）。

ABSTRACT

In this paper, we have investigated different classes of an AG-groupoid by their structural properties. We have prove that weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular and completely regular coincide in an AG-groupoid with left identity and in AG^{**}-groupoid. Further we have prove that every regular (weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular, completely regular) AG-groupoid with left identity (AG^{**}-groupoid) is regular but the converse is not true in general. Also it has been shown that non-associative regular, weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular and completely regular AG^{*} groupoids do not exist.

研究动机与目标

• 研究阿贝尔-格劳斯曼群oids（AG-群oids）中不同正则性类的结构性质。
• 确定各种正则性概念——弱正则、内部正则、右正则、左正则、左拟正则和完全正则——在何种条件下会一致。
• 阐明正则性与代数结构 S = S² 在 AG-群oids 中的关系。
• 考察正则性概念是否可以在满足恒等式 (ab)c = b(ac) 的 AG∗-群oids 中一致定义。

提出的方法

• 以左反演律 (ab)c = (cb)a 和中位律 (ab)(cd) = (ac)(bd) 作为 AG-群oids 中的基础恒等式。
• 在具有左单位元的 AG-群oids 中应用共轭中位律 (ab)(cd) = (dc)(ba) 和左单位元性质 a(bc) = b(ac)。
• 通过代数恒等变形，利用恒等式 (1)–(4) 和定理 1，证明正则性类之间的等价性。
• 构造反例以表明 S = S² 并不蕴含正则性，从而证明逆命题不成立。
• 在 AG∗-群oids 中使用基于置换的恒等式，表明正则性蕴含交换半群结构。
• 通过引理和定理建立等价性链，例如通过代入和恒等式应用，证明弱正则性蕴含右正则性和左正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在左单位元的情况下，弱正则性、内部正则性、右正则性、左正则性、左拟正则性和完全正则性 AG-群oids 是否一致？
• RQ2 S = S² 是否足以保证 AG-群oids 中的正则性？
• RQ3 正则性概念是否可以在 AG∗-群oids 中一致定义？
• RQ4 在具有左单位元的 AG-群oids 中，弱正则性与其他正则性类之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下，S = S² 蕴含 AG-群oids 是正则的？

主要发现

• 在具有左单位元的 AG-群oids 中，所有正则性类——弱正则、内部正则、右正则、左正则、左拟正则和完全正则——彼此等价。
• 本文证明，在具有左单位元的 AG-群oids 中，所有正则性类均满足 S = S²，但其逆命题在一般情况下不成立。
• 提供了一个反例，表明 S = S² 并不蕴含正则性：一个六元 AG-群oids 中，S = S² 成立，但如 d 这类元素并非正则。
• 在具有左单位元的 AG-群oids 中，弱正则性可通过代数恒等式和代换，推出右正则性和左正则性。
• 在具有左单位元的 AG-群oids 中，所有正则性类均蕴含正则性，但其逆命题不成立，如 (ax)a = (ax)(ay) 不成立，除非满足幂等性或交换性等附加条件。
• 在 AG∗-群oids 中，任何一种正则性（弱、内部、右、左、左拟、完全）均使结构成为交换半群，因为 S = S² 与置换恒等式 (6) 共同强制了交换性。