[论文解读] On Some Finite Sums with Factorials

Бранко Драгович|ArXiv.org|Apr 27, 2004

advanced mathematical theories参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文推导出涉及阶乘和多项式的有限和的一般求和公式，表明形如 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k)$ 的表达式可简化为 $v_k + \varepsilon^{n-1} n! A_{k-1}(n)$，其中 $A_{k-1}(n)$ 是一个多项式。其关键贡献在于建立了与左阶乘相关的库雷帕假设的无穷多组新等价形式，将此类和的可除性性质与这一开放的数论猜想联系起来。

ABSTRACT

The summation formula $$ \sum^{n-1}_{i=0}ε^i i! (i^k+u_k) = v_k+ε^{n-1} n! A_{k-1}(n) $$ $(ε=\pm 1; k=1,2,...; u_k, v_k\in \msbm\hbox{Z}; A_{k-1}$ is a polynomial) is derived and its various aspects are considered. In particular, divisibility with respect to $n$ is investigated. Infinitely many equivalents to Kurepa's hypothesis on the left factorial are found.

研究动机与目标

• 推导形如 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! P_k(i)$ 的有限和的闭式求和公式，其中 $P_k(i)$ 是 $k$ 次多项式。
• 研究这些和的可除性性质，特别是关于 $n!$ 和素因子的性质。
• 建立此类和与库雷帕假设（KH）之间的新联系，该假设断言对 $n \geq 2$ 有 $(!n, n!) = 2$。
• 通过递推关系和 $p$-进分析，生成无穷多组库雷帕假设的新等价表述。

提出的方法

• 通过二项式展开和错位求和，推导 $S_k^\varepsilon(n) = \sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! i^k$ 的递推关系。
• 引入一个满足函数方程 $(n+1)A_{k-1}(n+1) - \varepsilon A_{k-1}(n) = n^k + A_{k-1}(1) - \varepsilon A_{k-1}(0)$ 的多项式 $A_{k-1}(n)$，从而实现求和公式的构建。
• 使用克罗内克函数符号和二项式系数，将 $S_k^\varepsilon(n)$ 递归地表示为低阶和的形式。
• 在 $\mathbb{F}_p$ 中应用费马小定理，将高次单项式 $i^{k + r(p-1)}$ 与 $i^k$ 模 $p$ 关联起来。
• 建立模 $p$ 的新同余条件与库雷帕假设的等价性，特别是在 $u_k \not\equiv 0 \pmod{p}$ 时成立。
• 分析当 $n \to \infty$ 时和的 $p$-进极限，证明其在 $\mathbb{Q}_p$ 中收敛于 $v_k$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k)$ 推导出一般闭式表达式？
• RQ2 在何种条件下，该和可被 $n!$ 或素数 $p$ 整除？
• RQ3 系数 $u_k$ 和 $v_k$ 如何与和的结构以及库雷帕假设相关联？
• RQ4 是否存在无穷多组基于同余的、与库雷帕假设等价的命题？
• RQ5 无限级数 $\sum_{i=0}^{\infty} \varepsilon^i i! i^k$ 的 $p$-进行为如何？

主要发现

• 求和公式 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k) = v_k + \varepsilon^{n-1} n! A_{k-1}(n)$ 成立的充要条件是 $A_{k-1}(n)$ 满足递推关系 $(n+1)A_{k-1}(n+1) - \varepsilon A_{k-1}(n) = n^k + A_{k-1}(1) - \varepsilon A_{k-1}(0)$。
• 当 $\varepsilon = 1$ 时，$u_k$ 的前几项为 $u_1 = 0$，$u_2 = 1$，$u_3 = -1$，$u_4 = -2$，$u_5 = 9$，$u_6 = -9$，而 $v_k$ 的值为 $v_1 = -1$，$v_2 = 1$，$v_3 = 1$，$v_4 = -5$，$v_5 = 5$，$v_6 = 21$。
• 同余式 $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^k \not\equiv v_k \pmod{p}$ 对于不整除 $u_k$ 的素数 $p$，与库雷帕假设等价。
• 推导出无穷多组库雷帕假设的新等价形式，包括 $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^2 \not\equiv 1 \pmod{p}$，$\sum_{i=0}^{p-1} i! i^3 \not\equiv 1 \pmod{p}$，以及 $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^4 \not\equiv -5 \pmod{p}$（对 $p > 2$ 成立）。
• 在 $p$-进设置下，无限和 $\sum_{i=0}^{\infty} i! i^k$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 中收敛于 $v_k$，且库雷帕假设等价于左阶乘 $!p$ 在 $p$-进数中非零。
• 恒等式 $(u_{p-1}+1)!p = v_{p-1}+1$，$(u_p+1)!p = v_p+1$ 等在 $\mathbb{F}_p$ 中成立，且与库雷帕假设的真假无关。