[论文解读] On some questions of Eymard and Bekka concerning amenability of homogeneous spaces and induced representations

Vladimir Pestov|ArXiv.org|Dec 30, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文解决了调和分析与群表示论中关于齐次空间的可约性与诱导表示的三个长期悬而未决的问题。构造了一个离散群 $G = \mathbb{Z} \ltimes F_\infty$，其具有闭子群 $F \subset H \subset G$，使得 $G/F$ 是 Eymard–Greenleaf 可约的，而 $H/F$ 不是，从而表明 $G/F$ 的可约性并不蕴含 $H/F$ 的可约性。作为推论，本文证明了即使原始表示 $\rho$ 不可约，其诱导表示 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ 仍可能是可约的；同时，即使 $\rho$ 和 $G/H$ 均为可约，$\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ 也未必可约——从而对 Eymard 和 Bekka 提出的问题给出了否定回答。

ABSTRACT

Let $F\subseteq H\subseteq G$ be closed subgroups of a locally compact group. In response to a 1972 question by Eymard, we construct an example where the homogeneous factor-space $G/F$ is amenable in the sense of Eymard-Greenleaf, while $H/F$ is not. (In our example, $G$ is discrete.) As a corollary which answers a 1990 question by Bekka, the induced representation $\ind_H^G(ρ)$ can be amenable in the sense of Bekka even if $ρ$ is not amenable. The second example, answering another question by Bekka, shows that $\ind_H^G(ρ)$ need not be amenable even if both the representation $ρ$ and the coset space $G/H$ are amenable.

研究动机与目标

• 解决 Eymard 于 1972 年提出的问题：对于闭子群 $F \subset H \subset G$，$G/F$ 的可约性是否蕴含 $H/F$ 的可约性？
• 回答 Bekka 于 1990 年提出的问题：若诱导表示 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ 可约，原始表示 $\rho$ 是否必为可约？
• 研究若 $\rho$ 和 $G/H$ 均为可约，是否必有 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ 可约，此问题由 Bekka 提出。
• 通过 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 中的半直积与格作用构造显式反例，以否定预期的蕴含关系。
• 在局部紧群的背景下，厘清齐次空间、表示与诱导表示之间可约性的关系。

提出的方法

• 构造一个离散群 $G = \mathbb{Z} \ltimes F_\infty$，其中 $F_\infty$ 为自由群，$\mathbb{Z}$ 通过平移生成元作用，形成半直积。
• 定义子群 $F = \Gamma_0 \subset H = F_\infty \subset G$，其中 $\Gamma_n$ 为 $F_\infty$ 的共轭子群。
• 通过证明准正则表示 $\lambda_{G/F}$ 几乎具有不变向量，来证明 $G/F$ 是可约的，利用了当 $n$ 足够大时，$F_\infty$ 的有限子集在 $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$ 上的作用趋于平凡的性质。
• 证明 $H/F$ 不可约，因为其同构于一个自由群，而自由群是非可约的。
• 利用 Mackey 的互反定理以及 $n \geq 3$ 时 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 的 (T) 性质，构造第二个反例，其中 $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$，$H = \mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$，$\pi$ 为 $H$ 的有限维非平凡不可约酉表示。
• 应用 Bekka 的可约表示判定准则，表明 $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$ 无非零不变向量，因此由于 $G$ 具有 (T) 性质，其不可能是可约的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于闭子群 $F \subset H \subset G$，$G/F$ 的可约性是否蕴含 $H/F$ 的可约性？
• RQ2 若诱导表示 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ 可约，原始表示 $\rho$ 是否必为可约？
• RQ3 若表示 $\rho$ 和陪集空间 $G/H$ 均为可约，是否必有 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ 可约？
• RQ4 是否存在 $H$ 的酉表示 $\pi$ 非可约，但其诱导表示 $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$ 可约？
• RQ5 在非可约设定下，表示的渐近不变性与诱导表示的可约性之间存在何种关系？

主要发现

• 齐次空间 $G/F$ 是 Eymard–Greenleaf 可约的，因为准正则表示 $\lambda_{G/F}$ 几乎具有不变向量，这是由于当 $n$ 足够大时，$F_\infty$ 的有限子集在 $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$ 上的作用趋于平凡。
• $H/F$ 同构于一个自由群，而自由群是非可约的，因此为 Eymard 问题提供了反例。
• 诱导表示 $\mathrm{ind}_H^G(\lambda_{H/F}) = \lambda_{G/F}$ 是可约的，尽管 $\lambda_{H/F}$ 不可约，从而对 Bekka 的问题给出了否定回答。
• 对于 $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$，$H = \mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$，以及 $H$ 的非平凡有限维酉表示 $\pi$，诱导表示 $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$ 是不可约的，尽管 $\pi$ 和 $G/H$ 均为可约。
• $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$ 无非零不变向量，且由于 $G$ 具有 (T) 性质，其不可能是可约的，因此对 Bekka 的第三个问题给出了否定回答。
• 非可约的 $F_\infty$-模 $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$ 的正交直和由于有限子集的渐近不变性而变为可约，展示了局部与整体可约性之间非平凡的相互作用。