[论文解读] On some random forests with determinantal roots

Luca Avena, Alexandre Gaudillière|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于加权有向图上随机生成的有根生成森林根节点的行列式点过程，采用具有复特征值的非对称核。研究证明，根集合的平均 hitting 时间与起始点无关，该结果将过程与生成元的谱性质及马尔可夫动力学联系起来。

ABSTRACT

Consider a finite weighted oriented graph. We study a probability measure on the set of spanning rooted oriented forests on the graph. We prove that the set of roots sampled from this measure is a determinantal process, characterized by a possibly non-symmetric kernel with complex eigenvalues. We then derive several results relating this measure to the Markov process associated with the starting graph, to the spectrum of its generator and to hitting times of subsets of the graph. In particular, the mean hitting time of the set of roots turns out to be independent of the starting point, conditioning or not to a given number of roots. Wilson's algorithm provides a way to sample this measure and, in absence of complex eigenvalues of the generator, we explain how to get samples with a number of roots approximating a prescribed integer. We also exploit the properties of this measure to give some probabilistic insight into the proof of an algebraic result due to Micchelli and Willoughby [13]. Further, we present two different related coalescence and fragmentation processes.

研究动机与目标

• 将加权有向图上随机生成的有根生成森林的根分布表征为行列式点过程。
• 研究该根过程与图上底层马尔可夫过程生成元之间的联系。
• 分析生成元的谱性质——尤其是复特征值——如何影响根分布与 hitting 时间。
• 通过所提出的随机森林模型，为 Micchelli 和 Willoughby 的代数结果提供概率解释。
• 基于随机森林测度，构建与共alescence和 fragmentation 相关的随机过程。

提出的方法

• 利用图的权矩阵和生成矩阵定义有根有向生成森林上的概率测度。
• 证明根集合构成一个行列式点过程，其核为图的生成矩阵导出的非对称核。
• 使用 Wilson 算法从该测度中进行采样，从而实现对根数量可控的随机森林的高效生成。
• 分析根集合的平均 hitting 时间，证明其在无条件和在固定根数条件下的起始点无关性。
• 利用生成矩阵的谱理论，将特征值结构（包括复特征值）与根过程的统计性质相关联。
• 基于随机森林动力学，构建两个相关随机过程：一个用于建模共alescence，另一个用于建模 fragmentation。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将加权有向图上随机生成的有根生成森林的根分布表征为行列式点过程？
• RQ2 生成矩阵的谱性质与根集合的统计行为之间存在何种关系？
• RQ3 为何根集合的平均 hitting 时间与起始顶点无关，即使在固定根数条件下也成立？
• RQ4 如何对 Wilson 算法进行改进，以生成根数近似于给定整数的森林，特别是在生成矩阵无复特征值时？
• RQ5 随机森林测度能否为 Micchelli 和 Willoughby 证明的代数恒等式提供概率洞察？

主要发现

• 加权有向图上随机生成的有根生成森林的根集合构成一个行列式点过程，其核为图的生成矩阵导出的非对称核。
• 根集合的平均 hitting 时间与起始顶点无关，无论是否在固定根数条件下。
• 当生成矩阵无复特征值时，可使用 Wilson 算法生成根数近似于给定整数的样本。
• 所提出的测度为 Micchelli 和 Willoughby 的代数恒等式提供了概率解释，将其与图上的随机过程联系起来。
• 基于随机森林测度的动力学，构建了两个相关随机过程——共alescence 和 fragmentation，为图基随机演化提供了新视角。