[论文解读] On spatial volume averaging in Lema\^ıtre--Tolman--Bondi dust models. Part I: back reaction, spacial curvature and binding energy

Roberto A. Sussman|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 24被引用 17

一句话总结

本文通过布歇尔的空间平均形式，对球对称勒梅特-托尔曼-邦迪（LTB）尘埃模型中的运动学反冲效应进行了严格的分析研究。研究结果表明，即使在包含内部椭圆（正曲率）坍缩区域的双曲（负曲率）区域内，反冲项 $\mathcal{Q} \geq 0$ 也始终成立，这为有效暗能量类加速提供了潜在的几何起源，而无需引入新场。

ABSTRACT

We provide a comprehensive analytic study (rigorous and qualitative) of the conditions for the existence of a a positive kinematic back reaction term $\QQ>0$, in the context of Buchert's scalar averaging formalism applied to spherically symmetric Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) dust solutions in which averaging domains are given as spherical comoving regions containing a symmetry center. We introduce proper volume and quasi-local average functionals and functions in order to examine the conditions for $\QQ\geq 0$, and in the process we also explore the relation between back reaction, spatial curvature and binding energy for a wide variety of LTB configurations. The back reaction term is positive for all "hyperbolic" regular domains with negative spatial curvature, either in the full radial range or in the radial asymptotic range. This result is also valid if these domains contain an inner "elliptic" region with positive curvature undergoing local collapse. For some cases in which positive spatial curvature decreases asymptotically, the conditions for a positive back reaction can still be met but seem to be more restrictive. Since $\QQ>0$ is a necessary condition for a positive "effective" acceleration that would mimic the effect of dark energy (in the context of Buchert's formalism), we examine this issue in LTB models in a follow up paper (part II).

研究动机与目标

• 通过布歇尔平均形式严格确定在 LTB 尘埃模型中反冲项 $\mathcal{Q}$ 非负的条件。
• 探讨球对称非均匀时空中原空间曲率、束缚能与反冲效应之间的相互作用。
• 在不使用微扰近似或特定模型选择的前提下，建立 $\mathcal{Q} \geq 0$ 的充分条件。
• 阐明径向转折点（TVs）在平均标量量及其梯度行为中的作用。
• 为第二部分中识别可通过反冲效应模拟暗能量效应的可行 LTB 配置提供基础。

提出的方法

• 推导 LTB 时空中共动球形区域的固有体积和拟局部平均函数。
• 应用布歇尔的标量平均形式，利用 LTB 方程的精确解计算反冲项 $\mathcal{Q}$。
• 引入协变束缚能泛函，并通过几何与动力学约束将其与空间曲率和 $\mathcal{Q}$ 关联。
• 通过径向梯度与转折点（TVs）的严格分析，确定 $\mathcal{Q} \geq 0$ 成立的位置。
• 使用洛必达法则与渐近分析处理曲率与膨胀在转折点处的奇点。
• 证明尺度因子 $R$ 的转折点（即 $R' = 0$）意味着膨胀标量 $\Theta$ 的转折点，从而将几何结构与平均动力学联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有球对称性的 LTB 尘埃模型中，反冲项 $\mathcal{Q}$ 在何种条件下非负？
• RQ2 空间曲率——尤其是负曲率——如何促成正的 $\mathcal{Q}$？
• RQ3 束缚能在通过反冲效应产生有效加速的过程中起什么作用？
• RQ4 在内层为椭圆区域、外层为双曲区域的混合配置中，能否实现 $\mathcal{Q} \geq 0$？
• RQ5 在 $R$ 和 $\Theta$ 中的径向转折点（TVs）如何影响平均形式的适用性以及 $\mathcal{Q}$ 的符号？

主要发现

• 在所有双曲（负空间曲率）正则区域中，反冲项 $\mathcal{Q}$ 严格为正，无论是在完整的径向范围内还是在渐近极限下。
• 即使双曲区域中包含一个内部处于局部坍缩的椭圆区域，$\mathcal{Q} \geq 0$ 依然成立。
• 对于渐近曲率递减的正曲率配置，$\mathcal{Q} \geq 0$ 仍有可能实现，但需要更严格的条件。
• 尺度因子 $R$ 的转折点（即 $R' = 0$）意味着膨胀标量 $\Theta$ 的转折点，这对确保这些点处几何量的连续性至关重要。
• 束缚能泛函与 $\mathcal{Q}$ 在几何上相关联，支持维尔茨的猜想：反冲效应源于准局部能量与曲率效应。
• 证明表明 $R'(r_{\rm{tv}}) = 0 \Rightarrow \Theta'(r_{\rm{tv}}) = 0$，确认 $R$ 的转折点同时也是 $\Theta$ 的转折点，这是平均形式一致性的关键条件。