[论文解读] On strong solutions of Itô's equations with a$\,\in W^{1}_{d}$ and b$\,\in L_{d}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文在一致非退化条件下，证明了扩散系数属于索伯列夫空间 $W^{1}_{d,{ m loc}}$ 且漂移系数属于 $L_d$ 的多维伊tô随机微分方程强解的存在性与唯一性。解在初值上具有任意小于1的指数的霍尔德连续性，且通过一种新颖的分析准则证明了解在系数逼近下的收敛性，避免了使用Yamada-Watanabe或Zvonkin型变换。

ABSTRACT

We consider Itô uniformly nondegenerate equations with time independent coefficients, the diffusion coefficient in $W^{1}_{d,loc}$, and the drift in $L_{d}$. We prove the unique strong solvability for any starting point and prove that as a function of the starting point the solutions are Hölder continuous with any exponent $<1$. We also prove that if we are given a sequence of coefficients converging in an appropriate sense to the original ones, then the solutions of approximating equations converge to the solution of the original one.

研究动机与目标

• 建立时间齐次伊tôSDE在 $\sigma \in W^{1}_{d,{\rm loc}}$ 且 $b \in L_d$ 条件下强解的存在性与唯一性。
• 证明解在初值上具有任意指数 $<1$ 的霍尔德连续性。
• 在适当的拓扑中证明系数逼近下解的收敛性。
• 发展一种新的分析方法以证明强解的存在性，避免使用Yamada-Watanabe或噪声变换技术。

提出的方法

• 首次在Krylov（2007）中引入的分析准则用于强解存在性，基于先验估计和过渡密度的正则性。
• 通过解对初值的导数过程 $\xi_t(x,\eta)$ 对解的导数进行先验估计。
• 应用科莫戈罗夫连续性定理的版本，推导解路径在初值上的霍尔德连续性。
• 利用 $\sigma$ 的梯度的 $L_d$-范数和 $b$ 的 $L_d$-范数来控制矩和导数的增长。
• 应用法图引理并借助光滑系数逼近，将光滑情形下的结果推广至一般的 $W^{1}_d \times L_d$ 设置。
• 依赖于文献[11]中的矩估计以及伊藤过程的极大不等式的版本，以控制上确界范数中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\sigma$ 和 $b$ 条件下，SDE (1.1) 具有唯一的强解？
• RQ2 当 $\sigma \in W^{1}_d$ 且 $b \in L_d$ 时，能否建立解关于初值的霍尔德连续性？
• RQ3 若系数序列在 $L_d$ 中收敛，是否意味着对应解在上确界范数中收敛？
• RQ4 能否在不依赖Yamada-Watanabe定理或Zvonkin型变换的情况下证明强可解性？

主要发现

• 在一致非退化条件下，当 $\sigma \in W^{1}_{d,{\rm loc}}$ 且 $b \in L_d$ 时，SDE (1.1) 对任意初值 $x_0 \in \mathbb{R}^d$ 具有唯一的强解。
• 解在初值上具有任意指数 $\alpha < 1$ 的霍尔德连续性。
• 当 $\kappa > 2d$ 时，差值 $|x_t(x) - x_t(y)|$ 的 $\kappa$-阶矩被控制为 $N|x-y|^{\kappa - 2d}$，从而蕴含霍尔德连续性。
• 若系数序列 $\sigma^{k}(n) \to \sigma^k$ 和 $b(n) \to b$ 在 $L_d$ 中收敛，则解 $x_t(n,x(n))$ 在 $L^1$-上确界范数中收敛到 $x_t$。
• 当 $\rho$ 较大时，收敛速度呈指数形式，满足 $\mathbb{P}(|x_t(x)| \geq \rho) \leq Ne^{-\mu \rho^2}$。
• 该方法避免了Yamada-Watanabe和Zvonkin型方法，转而依赖于一种新颖的分析准则和矩估计。