[论文解读] On subgroups of saturated or totally bounded paratopological groups

Тарас Банах, Sasha Ravsky|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 18

一句话总结

本文建立了paratopological群可嵌入到饱和或完全有界的paratopological群中的必要与充分条件，表明此类嵌入存在当且仅当该群存在连续的双射同态映射到一个（完全有界）拓扑群。关键贡献在于通过群反射引入了$\flat$-分离性概念，并给出了特征超过$\frac{\pi}{\text{weight}}$及群反射特征的示例。

ABSTRACT

A paratopological group $G$ is saturated if the inverse $U^{-1}$ of each non-empty set $U\subset G$ has non-empty interior. It is shown that a [first-countable] paratopological group $H$ is a closed subgroup of a saturated (totally bounded) [abelian] paratopological group if and only if $H$ admits a continuous bijective homomorphism onto a (totally bounded) [abelian] topological group $G$ [such that for each neighborhood $U\subset H$ of the unit $e$ there is a closed subset $F\subset G$ with $e\in h^{-1}(F)\subset U$]. As an application we construct a paratopological group whose character exceeds its $π$-weight as well as the character of its group reflexion. Also we present several examples of (para)topological groups which are subgroups of totally bounded paratopological groups but fail to be subgroups of regular totally bounded paratopological groups.

研究动机与目标

• 确定paratopological群何时可嵌入到饱和或完全有界的paratopological群中。
• 阐明群反射$G^{\flat}$在刻画此类嵌入中的作用。
• 解决Guran关于饱和paratopological群的子群是否自身也是饱和的问题。
• 构造出其特征严格大于其$\tfrac{\pi}{\text{weight}}$和其群反射特征的paratopological群示例。

提出的方法

• 引入$\flat$-分离性的概念：若paratopological群$G$存在到拓扑群$H$的连续双射同态，则称$G$为$\flat$-分离的。
• 使用群反射$G^{\flat} = (G, \tau^{\flat})$，其中$\tau^{\flat}$是弱于$G$的拓扑的最强群拓扑。
• 通过$\tau^{\flat}$的性质，特别是以$\{UU^{-1}\}$为$U$取单位元邻域的基，刻画饱和与完全有界的paratopological群。
• 构造一个伪紧paratopological群$({\mathbb{T}}, \theta)$，其中$\theta_r = \tau$，利用$\mathbb{T}$中的非周期元$x_0$满足$\chi(x_0) = 1$。
• 构造乘积群$G = \hat{H} \times \mathbb{T}$，通过邻域基$[U_\tau, U_\sigma, U_\theta]$赋予特定拓扑$\rho$，确保$\rho_r \subset \pi$。
• 通过证明$\overline{U}^\rho \supset U_\sigma \times \overline{U_\theta}^\theta$来证明伪紧性，依赖于$\theta$的非离散性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时paratopological群$H$可作为闭子群嵌入到饱和paratopological群中？
• RQ2 确保$H$可嵌入到完全有界的paratopological群中的精确拓扑条件是什么？
• RQ3 paratopological群的特征是否可能严格大于其$\pi$-weight和其群反射的特征？
• RQ4 每个饱和paratopological群的子群是否自身也是饱和的？
• RQ5 $\flat$-分离性与群反射$G^\flat$的结构之间有何关系？

主要发现

• 第一可数paratopological群$H$可嵌入到饱和（完全有界）paratopological群中，当且仅当它存在连续双射同态映射到一个（完全有界）拓扑群$G$，且满足特定邻域条件。
• 饱和paratopological群的群反射$G^{\flat}$具有以$UU^{-1}$为基的邻域系，其中$U$是单位元的开邻域。
• Sorgenfrey直线是一个饱和paratopological群，其群反射是通常的实直线，说明逆连续性不被保持。
• 构造了一个伪紧paratopological群$({\mathbb{T}}, \theta)$，其中$\theta_r = \tau$，表明正规拓扑$\theta_r$等于原拓扑$\tau$，从而说明伪紧性。
• 赋予拓扑$\rho$的乘积群$G = \hat{H} \times \mathbb{T}$是伪紧的，因为$\rho_r \subset \pi$，即$\hat{H}$与$({\mathbb{T}}, \theta_r)$的乘积拓扑。
• 本文构造出一个paratopological群，其特征严格大于其$\pi$-weight和其群反射的特征，从而解决了长期悬而未决的问题。