[论文解读] Oscillator topologies on a paratopological group and related number invariants

Тарас Банах, Olexandr Ravsky|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用 26

一句话总结

本文引入了在拟拓扑群上的振荡器拓扑，并定义了相关的数值不变量，如振荡度与可逆性。证明了每个3-振荡的豪斯多夫拟拓扑群都存在一个更弱的豪斯多夫群拓扑，推广了关于SIN-群与幂零群的已知结果。

ABSTRACT

We introduce and study oscillator topologies on paratopological groups and define certain related number invariants. As an application we prove that a Hausdorff paratopological group $G$ admits a weaker Hausdorff group topology provided $G$ is 3-oscillating. A paratopological group $G$ is 3-oscillating (resp. 2-oscillating) provided for any neighborhood $U$ of the unity $e$ of $G$ there is a neighborhood $V\subset G$ of $e$ such that $V^{-1}VV^{-1}\subset UU^{-1}U$ (resp. $V^{-1}V\subset UU^{-1}$). The class of 2-oscillating paratopological groups includes all collapsing, all nilpotent paratopological groups, all paratopological groups satisfying a positive law, all paratopological SIN-group and all saturated paratopological groups (the latter means that for any nonempty open set $U\subset G$ the set $U^{-1}$ has nonempty interior). We prove that each totally bounded paratopological group $G$ is countably cellular; moreover, every cardinal of uncountable cofinality is a precaliber of $G$. Also we give an example of a saturated paratopological group which is not isomorphic to its mirror paratopological group as well as an example of a 2-oscillating paratopological group whose mirror paratopological group is not 2-oscillating.

研究动机与目标

• 回应 I. Guran 关于每个正则豪斯多夫拟拓扑群是否都存在一个更弱的豪斯多夫群拓扑的问题。
• 通过定义并研究振荡器拓扑，作为原始拓扑与群反射拓扑之间的中间结构。
• 引入并分析如振荡度与可逆性等数值不变量，以对拟拓扑群进行分类。
• 提供充分条件，使得拟拓扑群的群反射是豪斯多夫的，特别是针对3-振荡与2-振荡群。
• 构造与镜像群不同构的拟拓扑群例子，包括饱和群与LSIN-群。

提出的方法

• 通过邻域及其逆的迭代乘积定义振荡器拓扑：$(\pm U)^n = U(\mp U)^{n-1}$ 与 $(\mp U)^n = U^{-1}(\pm U)^{n-1}$。
• 通过条件 $V^{-1}VV^{-1} \subset UU^{-1}U$（当 $n=3$ 时）与 $V^{-1}V \subset UU^{-1}$（当 $n=2$ 时）引入 $n$-振荡拟拓扑群的概念。
• 使用群反射 $G^\flat$ 作为比原始拓扑更弱的最强群拓扑，通过连续同态的范畴定义。
• 应用 $T$-滤子与 $\tau_\flat$ 的内部描述，刻画反射拓扑中的 $\flat$-闭集与 $\flat$-开集。
• 利用李群如 $\mathrm{Aff}^+(\mathbb{R})$ 构造例子，通过非平凡特征标生成类似索根弗雷拓扑的拟拓扑。
• 证明：若 $G$ 是一个所有自同构均为内自同构的拓扑群，且其特征标核非开，则 $G$ 上的索根弗雷拟拓扑将导出一个与镜像群不同构的饱和群。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个3-振荡的豪斯多夫拟拓扑群是否都存在一个更弱的豪斯多夫群拓扑？
• RQ2 是否存在与镜像群不同构的拟拓扑群，即使两者都是饱和群或2-振荡群？
• RQ3 振荡器拓扑能否用于刻画群反射为豪斯多夫或具有有限振荡度的情形？
• RQ4 每个正则 $\flat$-分离的拟拓扑群是否必然为 $\flat$-正则？
• RQ5 对哪些 $n$ 存在满足 $\mathrm{osc}(G) = n$ 的拟拓扑群？此类群能否显式构造？

主要发现

• 每个3-振荡的豪斯多夫拟拓扑群都存在一个更弱的豪斯多夫群拓扑，正面回答了Guran问题的一个特例。
• 2-振荡拟拓扑群的类包括所有坍缩群、幂零群、满足正则恒等式的群、拟拓扑SIN-群以及饱和群。
• 每个完全有界的拟拓扑群都是可数凝聚的，且每个不可数共尾度数为不可数的正则基数都是此类群的预基。
• 存在一个饱和拟拓扑群（例如 $\mathrm{Aff}^+(\mathbb{R})$ 配备索根弗雷拓扑），其与镜像拟拓扑群不同构。
• 存在一个2-振荡拟拓扑群，其镜像群不是2-振荡的，表明2-振荡性质具有不对称性。
• 即使 $G$ 是豪斯多夫的，其群反射 $G^\flat$ 也可能不是豪斯多夫的，但此问题在3-振荡或2-振荡条件下可避免。