[论文解读] On sums involving products of three binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文建立了关于包含三个二项式系数乘积的和模 $p^2$ 的新同余式，特别是 $\binom{2k}{k}^3$、$\binom{2k}{k}^2\binom{2k}{k+d}$ 及其相关超几何型和。通过应用 Zelberger 算法与多项式递推技术，证明了在特定奇偶性与算术条件下，此类和模 $p^2$ 为零，并将其与素数表示为平方和或其他二次型的性质联系起来，扩展了孙与 Rodriguez-Villegas 的先前猜想。

ABSTRACT

In this paper we mainly employ the Zeilberger algorithm to study congruences for sums of terms involving products of three binomial coefficients. Let $p>3$ be a prime. We prove that $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+d}}{64^k}\equiv 0\pmod{p^2}$$ for all $d\in\{0,\ldots,p-1\}$ with $d\equiv (p+1)/2\pmod2$. If $p\equiv 1\pmod4$ and $p=x^2+y^2$ with $x\equiv 1\pmod4$ and $y\equiv 0\pmod2$, then we show $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+1}}{(-8)^k}\equiv 2p-2x^2\pmod{p^2}\ \ \mbox{and}\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+1}^2}{(-8)^k}\equiv-2p\pmod{p^2}$$ by means of determining $x$ mod $p^2$ via $$(-1)^{(p-1)/4}\,x\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{k+1}{8^k}\binom{2k}k^2\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{2k+1}{(-16)^k}\binom{2k}k^2\pmod{p^2}.$$ We also solve the remaining open cases of Rodriguez-Villegas' conjectural congruences on $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{3k}k}{108^k},\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{256^k}, \ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}k\binom{6k}{3k}}{12^{3k}}$$ modulo $p^2$.

研究动机与目标

• 证明并扩展关于形如 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 / m^k \mod p^2$ 的和的猜想，其中 $m$ 取特定值。
• 在模 $p^2$ 下建立涉及三个二项式系数乘积的和的同余式，特别当 $p$ 为奇素数时。
• 通过勒让德符号与二次型，将这些和与素数的算术性质（如 $p = x^2 + y^2$ 或 $p = x^2 + 2y^2$）联系起来。
• 验证并扩展关于涉及 $\eta$-模形式的超几何超同余式的 Rodriguez-Villegas 型猜想。
• 使用 Zelberger 算法与递推关系，推导并验证支撑主要同余式的多项式恒等式。

提出的方法

• 应用 Zelberger 算法，为涉及 $\binom{n}{k}^3$ 的终止超几何和推导出二阶线性递推关系，从而实现模分析。
• 使用关键恒等式 $f_n(x(x+1)) = D_n(x)^2$，其中 $f_n(x)$ 与 $D_n(x)$ 是与 Delannoy 数和 Schr"oder 数相关的生成多项式。
• 采用 $p$-进展开与模 $p^2$ 的二项式系数恒等式，特别是 $\binom{n+k}{2k} \equiv \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \mod p^2$，当 $n = (p-1)/2$ 时成立。
• 利用已知同余式，如 $\binom{(p-1)/2}{k}^3 \equiv \binom{2k}{k}^3 / (-64)^k \mod p$，将和简化为已知形式。
• 应用高斯同余式 $\binom{(p-1)/2}{(p-1)/4} \equiv 2x \mod p$，当 $p \equiv 1 \mod 4$ 且 $p = x^2 + y^2$ 时，用于模 $p$ 下计算关键和。
• 通过形如 $(3d+1)(3d+2)f(d) \equiv (3d+4)(3d+5)f(d+2) \mod p^2$ 的递推下降，将高 $d$ 处的零结果传播至低 $d$ 处。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，有 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+d}}{64^k} \equiv 0 \mod p^2$ 成立，且 $d \equiv (p+1)/2 \mod 2$？
• RQ2 当 $p \equiv 3 \mod 4$ 时，和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{64^k}$ 是否能用 $x$ 与 $p$ 表示？
• RQ3 和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k+1}{8^k} \binom{2k}{k}^2$ 与 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{2k+1}{(-16)^k} \binom{2k}{k}^2$ 如何与表示 $p = x^2 + y^2$ 相关联？
• RQ4 当 $p \equiv 1 \mod 4$ 时，$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{(-8)^k}$ 的 $p^2$-同余式是什么？
• RQ5 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}}{108^k}$ 与 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{4k}{2k}}{256^k}$ 是否符合 Rodriguez-Villegas 预言的 $p^2$-同余式？

主要发现

• 当 $p \equiv 3 \mod 4$ 时，有 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{64^k} \equiv (2p + 2 - 2^{p-1}) \binom{(p-1)/2}{(p+1)/4}^2 \mod p^2$，且当 $p \equiv 3 \mod 4$ 时，该二项式系数模 $p$ 为零。
• 当 $p \equiv 1 \mod 4$ 且 $p = x^2 + y^2$，其中 $x \equiv 1 \mod 4$ 时，有 $(-1)^{(p-1)/4} x \equiv \sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k+1}{8^k} \binom{2k}{k}^2 \mod p^2$，直接将和与 $x$ 联系起来。
• 当 $p \equiv 1 \mod 4$ 时，有 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k} C_k}{8^k} \equiv -2 \sum_{k=0}^{p-1} \frac{k \binom{2k}{k}^2}{8^k} \equiv (-1)^{(p-1)/4} \left(2x - \frac{p}{x}\right) \mod p^2$，显示出与 $x$ 算术的深刻联系。
• 当 $p \equiv 1 \mod 4$ 且 $p = x^2 + y^2$，$x \equiv 1 \mod 4$ 时，有 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{(-8)^k} \equiv 2p - 2x^2 \mod p^2$，证实了一个猜想。
• 当 $p \equiv 3 \mod 8$ 且 $p = x^2 + 2y^2$ 时，有 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^3}{(-64)^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)(4x^2 - 2p) \mod p$，通过已知恒等式可提升至 $p^2$-同余式。
• 有 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{12^{3k}} \equiv \left(\frac{12}{p}\right) \binom{(p-1)/2}{(p-1)/4}^2 \mod p$，当与高斯同余式结合时，可导出 $p \equiv 5 \mod 12$ 时 Rodriguez-Villegas 猜想的 $p^2$-形式。