[论文解读] On superlinear Fractional p-Laplacian in R^n

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用 3

一句话总结

本文研究了在 R^n 中，对于满足 p ≥ 2 且 0 < s < 1 的分数阶 p-Laplacian 方程，其具有次临界 p-超线性非线性项的非平凡解的存在性。通过在 Cerami 条件下应用山路定理，作者在适当假设势函数 V(x) 和非线性项 f(x,u) 的条件下，建立了至少一个非平凡弱解的存在性。

ABSTRACT

In this article we are interested in the following fractional $p$-Laplacian equation in $\mathbb{R}^n$ $(-\Delta)_{p}^{\alpha}u$ + $V(x)u^{p-2}u = f(x,u) {in} \mathbb{R}^{n}$ where $p\geq 2$, $0< s < 1$, $n\geq 2$ and subcritical p-superlinear nonlinearity. By using mountain pass theorem with Cerami condition and existence result is obtained.

研究动机与目标

• 研究在 R^n 中具有次临界 p-超线性非线性项的分数阶 p-Laplacian 方程非平凡解的存在性。
• 分析在势函数 V(x) 和非线性项 f(x,u) 的影响下解的行为。
• 在适当的增长和正则性条件下，利用变分方法建立存在性结果。
• 扩展山路定理在分数阶 p-Laplacian 算子且具有超线性增长情况下的适用性。

提出的方法

• 使用 s ∈ (0,1) 且 p ≥ 2 的非局部算子 (−Δ)p^s 来表述分数阶 p-Laplacian 方程。
• 在合适的索伯列夫型空间中定义与方程相关的能量泛函，确保该泛函定义良好且连续可微。
• 在 Cerami 条件下对能量泛函应用山路定理，以保证临界点的存在性。
• 验证在给定 f(x,u) 和 V(x) 的假设下，Cerami 条件成立，从而确保存在有界 Palais-Smale 序列。
• 利用 f(x,u) 的次临界性和 p-超线性增长，确保能量泛函满足山路定理所需的几何条件。
• 通过链式结构和紧致性论证，建立至少一个非平凡弱解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，具有势函数 V(x) 和 p-超线性非线性项 f(x,u) 的分数阶 p-Laplacian 方程在 R^n 中存在非平凡弱解？
• RQ2 非局部算子 (−Δ)p^s 与势函数 V(x) 之间的相互作用如何影响解的存在性？
• RQ3 在 Cerami 条件下，山路定理能否有效应用于此类分数阶 p-Laplacian 问题？
• RQ4 对 f(x,u) 的哪些增长和正则性假设可确保在次临界情形下非平凡解的存在性？
• RQ5 当 p ≥ 2 时，参数 s ∈ (0,1) 在方程可解性中起什么作用？

主要发现

• 本文在给定条件下建立了分数阶 p-Laplacian 方程在 R^n 中至少存在一个非平凡弱解。
• 解通过山路定理获得，该定理保证了相关能量泛函的临界点存在。
• 已验证能量泛函满足 Cerami 条件，从而确保存在有界 Palais-Smale 序列。
• 非线性项 f(x,u) 假设为次临界且 p-超线性，这对满足山路定理的几何条件至关重要。
• 势函数 V(x) 假设为可测且下有界，以确保泛函定义良好且部分具有强制性。
• 该结果适用于所有 n ≥ 2、p ≥ 2 和 s ∈ (0,1)，扩展了变分方法在该类非局部方程中的适用范围。