[论文解读] On Sushchansky p-groups

Ievgen Bondarenko, Dmytro Savchuk|ArXiv.org|Dec 7, 2006

semigroups and automata theory参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文证明了Sushchansky $p$-群——通过表格构造的有限生成无限$p$-群——具有中间增长，这是几何群论中的一个关键结果。通过将它们的作用转化为自动机群并分析其自相似闭包，作者证明这些群同构于中间增长的$Γ$-群，从而得出其增长函数与周期增长函数的精确上界。

ABSTRACT

We study Sushchansky p-groups. We recall the original definition and translate it into the language of automata groups. The original actions of Sushchansky groups on p-ary tree are not level-transitive and we describe their orbit trees. This allows us to simplify the definition and prove that these groups admit faithful level-transitive actions on the same tree. Certain branch structures in their self-similar closures are established. We provide the connection with, so-called, G groups that shows that all Sushchansky groups have intermediate growth and allows to obtain an upper bound on their period growth functions.

研究动机与目标

• 确立Sushchansky $p$-群具有中间增长，从而解决群论中长期悬而未决的问题。
• 将Sushchansky群原始的基于表格的定义转化为自动机群的语言，以实现更优的结构分析。
• 证明这些群在$p$-叉树上存在忠实的层级传递作用，从而可应用现代增长理论。
• 将Sushchansky群与中间增长的$\mathsf{G}$-群联系起来，从而推导出其增长函数与周期增长函数的精确上界。

提出的方法

• 通过其表格表示构造的有限初等自动机构造Sushchansky群。
• 分析原始非层级传递作用的轨道树，以在相同的$p$-叉树上构造一个忠实的层级传递作用。
• 研究Sushchansky群的自相似闭包并确定其分支结构。
• 构造一个中间增长的$\mathsf{G}$-群，其增长函数与Sushchansky群的相同，即$\gamma_{G_\lambda}(n) \thicksim \gamma_H(n)$。
• 利用$\mathsf{G}$-群理论推导增长函数与周期增长函数的上界。
• 应用正规分支群与核理论的结果，将Sushchansky群的增长与其次级限制的增长联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sushchansky $p$-群是否如早期研究中所猜想的那样具有中间增长？
• RQ2 Sushchansky群在$p$-叉树上的原始非层级传递作用能否通过自动机方法被替换为忠实的层级传递作用？
• RQ3 Sushchansky $p$-群的增长函数的精确渐近行为是什么？
• RQ4 Sushchansky $p$-群的周期增长函数行为如何，能否被界定？
• RQ5 Sushchansky群与中间增长的$\mathsf{G}$-群之间是否存在联系，使得可以比较其增长函数？

主要发现

• 所有Sushchansky $p$-群均具有中间增长，证实了此前仅以概要形式陈述的结果。
• 任意Sushchansky $p$-群的生长函数$\gamma_{G_\lambda}(n)$满足$e^{n^\alpha} \precsim \gamma_{G_\lambda}(n) \precsim e^{n^\beta}$，其中$\alpha = \frac{\log p}{\log p + \log 2}$，$\beta = \frac{\log p}{\log p - \log \eta_r}$，且$r = p^2$。
• 群$G_\lambda$的增长函数与由其第二级限制生成的$\mathsf{G}$-群$H$的增长函数等价，即$\gamma_{G_\lambda}(n) \thicksim \gamma_H(n)$。
• 幂零增长函数$\pi_{G_\lambda}(n)$的上界为$C n^{\log_{1/\eta_r}(p)}$，其中常数$C > 0$，且$\eta_r$是方程$x^r + x^{r-1} + x^{r-2} - 2 = 0$的正实根。
• $G_\lambda$同构于一个中间增长的$\mathsf{G}$-群，其增长类型由相关自动机的核决定。
• 群$G_\lambda$的自相似闭包在有限指数子群上是正规分支的，证实了其丰富的分支结构。