[论文解读] On Symmetric Gauss-Seidel ADMM Algorithm for $\mathcal{H}_\infty$ Guaranteed Cost Control with Convex Parameterization

Jun Ma, Zilong Cheng+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2020

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 53被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种对称 Gauss-Seidel ADMM 算法，用于在参数不确定性下求解 $χ_\infty$ 保证成本控制问题。通过利用 Youla-Kucera 变体的凸参数化和 Schur 补重写方法，将问题转化为凸优化任务，从而实现高效的大规模计算，并具备强收敛保证和鲁棒性能。

ABSTRACT

This paper involves the innovative development of a symmetric Gauss-Seidel ADMM algorithm to solve the H-infinity guaranteed cost control problem. In the presence of parametric uncertainties, the H-infinity guaranteed cost control problem generally leads to the large-scale optimization. This is due to the exponential growth of the number of the extreme systems involved with respect to the number of parametric uncertainties. In this work, through a variant of the Youla-Kucera parameterization, the stabilizing controllers are parameterized in a convex set; yielding the outcome that the H-infinity guaranteed cost control problem is converted to a convex optimization problem. Based on an appropriate re-formulation using the Schur complement, it then renders possible the use of the ADMM algorithm with symmetric Gauss-Seidel backward and forward sweeps. Significantly, this approach alleviates the often-times prohibitively heavy computational burden typical in many H-infinity optimization problems while exhibiting good convergence guarantees, which is particularly essential for the related large-scale optimization procedures involved. With this approach, the desired robust stability is ensured, and the disturbance attenuation is maintained at the minimum level in the presence of parametric uncertainties. Rather importantly too, with the attained effectiveness, the methodology thus evidently possesses extensive applicability in various important controller synthesis problems, such as decentralized control, sparse control, and output feedback control problems.

研究动机与目标

• 解决具有参数不确定性的系统中 $χ_\infty$ 保证成本控制的高计算负担问题。
• 克服基于 Riccati 方程的方法和非线性求解器在大规模优化中的局限性。
• 为不确定条件下的鲁棒控制器综合开发一种数值稳定且可扩展的算法。
• 通过凸参数化实现对分散化、稀疏性和输出反馈控制问题的应用。
• 在不确定域的所有极端系统中，确保最小的干扰衰减水平，同时保持鲁棒稳定性。

提出的方法

• 利用 Youla-Kucera 参数化的一种变体，将稳定控制器表示在凸集中。
• 通过 Schur 补重写方法将 $χ_\infty$ 控制问题转化为凸约束，从而将双线性矩阵不等式转换为凸形式。
• 应用对称 Gauss-Seidel ADMM 算法，通过交替的前向和后向扫描实现更优的收敛性能。
• 将大规模优化问题分解为每个 ADMM 迭代中可显式求解的子问题。
• 采用割平面法对外部逼近非线性约束，迭代地细化可行区域。
• 将 ADMM 框架集成，以避免在大规模实例中依赖计算成本高昂的求解器（如 Gurobi 或 SCS）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称 Gauss-Seidel ADMM 框架能否有效求解具有参数不确定性的大规模 $χ_\infty$ 保证成本控制问题？
• RQ2 通过 Youla-Kucera 变体实现的凸参数化在提升数值稳定性和计算可处理性方面有何改善？
• RQ3 与传统的 Riccati 方法或割平面法相比，基于 ADMM 的方法在多大程度上降低了计算负担？
• RQ4 该方法能否确保在不确定域内所有极端系统中均实现鲁棒稳定性和最小干扰衰减？
• RQ5 在参数不确定性下，所提出的控制器与标准 LQR 的性能相比如何？

主要发现

• 所提出的对称 Gauss-Seidel ADMM 算法在大规模 $χ_\infty$ 控制问题中表现出强收敛保证，并显著降低了计算成本。
• 凸参数化确保所有稳定控制器均位于凸集中，从而实现高效的优化。
• 该算法成功最小化了所有极端系统中 $χ_\infty$ 性能的上界，实现了最小干扰衰减水平。
• 示例 2 的仿真结果表明，与 LQR 基准（实线）相比，所提出控制器（虚线）在参数不确定性下表现出更优的系统响应。
• 对偶间隙随迭代次数稳步减小，证实了 ADMM 求解方案的收敛性和数值可靠性。
• 由于其凸且结构化的公式，该方法可推广应用于更广泛的控制问题，如分散化、稀疏性和输出反馈控制。