[论文解读] On tame enveloping semigroups

Eli Glasner|ArXiv.org|Jun 27, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文建立了一类动力系统二分法：包络半群要么是大的（包含 βℕ 的拷贝），要么是温和的（由序列收敛性决定的拓扑）。本文证明了度量的拟正则极小系统是温和的当且仅当是等连续的；阿贝尔的温和极小系统是 PI（因此弱混合系统绝不是温和的）；温和极小级联系统的拓扑熵为零。本文解决了长期悬而未决的公开问题，即对于拟正则但非等连续的系统，从包络算子半群到 Ellis 半群的典范映射并非同构。

ABSTRACT

A dynamical version of the Bourgain-Fremlin-Talagrand dichotomy shows that the enveloping semigroup of a dynamical system is either very large and contains a topological copy of the Stone-Cech compactification of the natural numbers, or it is a "tame" topological space whose topology is determined by the convergence of sequences. In the latter case we say that the dynamical system is tame. We show that (i) a metric distal minimal system is tame iff it is equicontinuous (ii) for an abelian acting group a tame metric minimal system is PI (hence a weakly mixing minimal system is never tame), and (iii) a tame minimal cascade has zero topological entropy. We also show that for minimal distal-but-not-equicontinuous systems the canonical map from the enveloping operator semigroup onto the Ellis semigroup is never an isomorphism. This answers a long standing open question. We give a complete characterization of minimal systems whose enveloping semigroup is metrizable. In particular it follows that for abelian acting group such a system is equicontinuous.

研究动机与目标

• 通过包络半群的结构表征温和动力系统。
• 解决包络算子半群到 Ellis 半群的典范映射是否总是同构的公开问题。
• 确定包络半群在极小系统中可度量化的条件，特别是可度量化性。
• 澄清极小系统中温和性、渐近性与拓扑熵之间的关系。
• 研究包络半群何时等于自映射空间 X^X。

提出的方法

• 应用 Bourgain-Fremlin-Talagrand 二分法，将包络半群分类为：要么是大的（包含 βℕ），要么是温和的（Rosenberg 紧）。
• 利用弱几乎周期系统和遗传几乎等连续系统的理论，证明可度量的 WAP 和 HAE 系统是温和的。
• 证明对于度量的拟正则极小系统，温和性蕴含等连续性，利用从包络算子半群到 Ellis 半群的典范映射 Φ 的单射性。
• 通过包络半群中极小理想与自同构群的结构，证明当作用群为阿贝尔时，温和极小系统是 PI（渐近等距）。
• 证明当包络半群可度量且系统为极小时，唯一极小理想是一个紧致群，商系统是渐近的。
• 利用轨道闭包的完备性，刻画 E(X,Γ) = X^X 的条件，表明这成立当且仅当系统是完备的（对所有 n 都是 n-完备的）

实验结果

研究问题

• RQ1 对于温和系统，从包络算子半群到 Ellis 半群的典范映射是否总是同构？
• RQ2 对于极小拟正则系统，温和性是否等价于等连续性？
• RQ3 极小弱混合系统能否是温和的，特别是当作用群为阿贝尔时？
• RQ4 在何种条件下，极小系统的包络半群是可度量的？
• RQ5 包络半群何时等于 X 上所有自映射的全集 X^X？

主要发现

• 度量的拟正则极小系统是温和的当且仅当它是等连续的。
• 当作用群为阿贝尔时，每个度量极小温和系统都是 PI，因此没有任何弱混合极小系统是温和的。
• 温和极小级联系统的拓扑熵为零。
• 对于拟正则但非等连续的极小系统，从包络算子半群到 Ellis 半群的典范映射并非同构，从而解决了长期悬而未决的公开问题。
• 若极小系统的包络半群是可度量的，则当作用群为阿贝尔时，系统是等连续的。
• 包络半群 E(X,Γ) 等于 X^X 当且仅当系统是完备的（对所有 n 都是 n-完备的）