[论文解读] On temporal entropy and the complexity of computing the expectation value of local operators after a quench

Stefano Carignano, Carlos Ramos Marimón+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2023

Quantum many-body systems参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文建立了量子淬火后一维量子系统中时间矩阵乘积态（tMPS）复杂度与算符纠缠之间的理论联系。结果表明，tMPS的键维数——对模拟局部算符时间依赖期望值至关重要——受到海森堡绘景演化中算符纠缠的上界约束，这意味着可积系统中呈现多项式标度，而非可积系统中则呈现指数标度。

ABSTRACT

We study the computational complexity of simulating the time-dependent expectation value of a local operator in a one-dimensional quantum system by using temporal matrix product states. We argue that such cost is intimately related to that of encoding temporal transition matrices and their partial traces. In particular, we show that we can upper-bound the rank of these reduced transition matrices by the one of the Heisenberg evolution of local operators, thus making connection between two apparently different quantities, the temporal entanglement and the local operator entanglement. As a result, whenever the local operator entanglement grows slower than linearly in time, we show that computing time-dependent expectation values of local operators using temporal matrix product states is likely advantageous with respect to computing the same quantities using standard matrix product states techniques.

研究动机与目标

• 理解使用时间矩阵乘积态（tMPS）模拟量子淬火后局部算符时间依赖期望值的计算成本。
• 识别tMPS在非平衡动力学中作为标准矩阵乘积态（MPS）技术的计算高效替代方案的适用条件。
• 建立tMPS中时间纠缠与海森堡绘景中算符纠缠之间的理论联系。
• 确定算符纠缠的增长是否可预测tMPS键维数的标度，从而判断高效模拟的可行性。

提出的方法

• 基于Bañuls等人早期工作的改进tMPS算法，利用卡爾迪什路径编码系统的影响矩阵。
• 引入简化转移矩阵（RTMs），以捕捉局部可观测量的演化，并将其秩与海森堡演化算符的算符纠缠关联。
• 通过RTM的奇异值分解（SVD）对tMPS进行截断，采用保真度误差控制来确定所需的键维数。
• 将tMPS的键维数标度与算符纠缠标度进行比较，表明前者受后者上界约束。
• 通过可积与非可积自旋链的数值模拟验证理论边界，利用保真度阈值提取有效键维数。
• 分析为保持固定截断误差 $ \epsilon $ 所需的键维数 $ D^* $ 的标度，与算符纠缠标度进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可用海森堡演化算符的纠缠特性来界定通过tMPS模拟时间依赖局部可观测量的计算成本？
• RQ2 在何种条件下，tMPS能为非平衡动力学提供相对于标准MPS的多项式标度优势？
• RQ3 算符纠缠的增长如何与时间演化中局部可观测量tMPS所需键维数相关联？
• RQ4 是否存在tMPS中的时间纠缠与海森堡绘景中算符纠缠之间的系统性联系，从而解释tMPS键维数较小的数值观察？
• RQ5 理论上的tMPS秩边界在实际模型中是否可被达到，且其与可积与非可积系统的数值结果是否一致？

主要发现

• tMPS的键维数由海森堡演化算符的秩所上界约束，建立了tMPS复杂度与算符纠缠之间的直接理论联系。
• 对于算符纠缠呈对数增长的可积系统，tMPS键维数随时间呈多项式增长，从而实现高效模拟。
• 对于算符纠缠呈线性增长的非可积系统，tMPS键维数呈指数增长，导致标准tMPS方法难以实现模拟。
• 数值结果证实，为保持固定保真度阈值，所需tMPS键维数 $ D^* $ 的标度与算符纠缠键维数的标度完全一致。
• 为在tMPS模拟中实现固定误差而所需的键维数标度，与以恒定误差模拟算符海森堡演化所需的标度完全匹配。
• 在特定情况下边界被达到，表明理论极限是紧致的，而非松散估计。