[论文解读] On the abundance of SRB measures

Yongluo Cao, Zeya Mi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文通过随机扰动和Gibbs $cu$-态的分层分析，证明了在远离同宿横截性的 $C^1$ 微分同胚中，Sinai-Ruelle-Bowen（SRB）测度的丰沛性。关键结果表明，在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中，任一微分同胚均可被逼近为具有SRB测度、同宿横截性或本质上Morse-Smale系统的系统，从而支持了Palis在整体动力系统中关于物理测度的猜想。

ABSTRACT

We prove the abundance of Sinai-Ruelle-Bowen measures for diffeomorphisms away from ones with a homoclinic tangency. This is motivated by conjectures of Palis on the existence of physical (Sinai-Ruelle-Bowen) measures for global dynamics. The main novelty in this paper is that we have to deeply study Gibbs $cu$-states in different levels. Note that we have to use random perturbations to give some upper bound of the level of Gibbs $cu$-states.

研究动机与目标

• 为支持Palis猜想，即大多数耗散性微分同胚具有有限个物理（SRB）测度，且其吸引域覆盖全Lebesgue测度。
• 在不表现出同宿横截性的 $C^1$ 微分同胚中，建立SRB测度的丰沛性。
• 分析部分双曲动力系统中多重主导性层次下Gibbs $cu$-态的结构。
• 证明在 $C^2$ 微分同胚中，具有1维主导中心丛的吸引集上SRB测度的存在性。

提出的方法

• 使用随机扰动来控制和界定Gibbs $cu$-态的层级，从而在不变测度分析中实现上界估计。
• 采用分层方法，通过分析主导分裂中越来越精细的不变丛来研究Gibbs $cu$-态。
• 利用扩展动力系统和提升测度来研究平稳测度及其在不稳定流形上的分解。
• 应用类似Pliss的引理，提取具有正密度的集合，其中Lyapunov指数具有统一的下界。
• 利用叶状结构的绝对连续性及条件测度，将不稳定流形上的Lebesgue测度与Gibbs测度关联起来。
• 依赖Pesin块和与不稳定流形子直化的可测划分理论，以构造物理测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明SRB测度在远离同宿横截性的 $C^1$ 微分同胚空间中是稠密的？
• RQ2 如何在多重主导性层次上分析Gibbs $cu$-态，以确保SRB测度的存在性？
• RQ3 随机扰动在控制非均匀双曲系统中不变测度的统计性质方面在多大程度上有帮助？
• RQ4 在具有1维中心丛的部分双曲吸引集中，SRB测度在何种条件下存在？
• RQ5 如Palis所预测，SRB测度对应的微分同胚集合在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中是否稠密？

主要发现

• 在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中，任一微分同胚均可通过 $C^1$ 逼近，使其为具有同宿横截性、本质上Morse-Smale系统或具有SRB测度的系统。
• 在 $\mathrm{Diff}^1(M)$ 中，满足Pesin熵公式的测度的 $C^1$ 微分同胚集合是稠密的，仅排除具有同宿横截性的那些。
• 对于具有部分双曲吸引集和1维中心丛的 $C^2$ 微分同胚，在给定的动力学条件下SRB测度存在。
• Gibbs $cu$-态沿不稳定流形的分解相对于Lebesgue测度是绝对连续的，从而支持了物理测度的构造。
• 随机扰动的使用使得能够对Gibbs $cu$-态的层级施加上界，这对控制系统的统计行为至关重要。
• 建立了类似Pliss的引理，以提取密度为 $1 - \varepsilon$ 的集合，其中Lyapunov指数具有统一的下界，从而支持正度量熵测度的存在性。