[论文解读] Statistical stability of mostly expanding diffeomorphisms

Martin Andersson, Carlos H. Vásquez|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文为几乎处处扩张的 $C^r$ 微分同胚（$r > 1$）建立了统计稳定性，证明在传递情形下物理测度随动力系统连续变化，而在非传递情形下物理测度的数量上半连续变化。在具有几乎处处扩张的中心方向的强部分双曲背景下，新提出的 Pliss 型引理与对 Gibbs $cu$-态的新表征是实现该结果的关键工具。

ABSTRACT

We study how physical measures vary with the underlying dynamics in the open class of $C^r$, $r>1$, strong partially hyperbolic diffeomorphisms for which the central Lyapunov exponents of every Gibbs $u$-state is positive. If transitive, such a diffeomorphism has a unique physical measure that persists and varies continuously with the dynamics. A main ingredient in the proof is a new Pliss-like Lemma which, under the right circumstances, yields frequency of hyperbolic times close to one. Another novelty is the introduction of a new characterization of Gibbs $cu$-states. Both of these may be of independent interest. The non-transitive case is also treated: here the number of physical measures varies upper semi-continuously with the diffeomorphism, and physical measures vary continuously whenever possible.

研究动机与目标

• 为一大类 $C^r$ 微分同胚（$r > 1$）建立统计稳定性，这些微分同胚在中心方向上具有强部分双曲性且几乎处处扩张。
• 分析在动力系统的小 $C^r$ 逼近下，物理测度的数量与结构如何变化。
• 证明当物理测度的数量保持不变时，物理测度在弱*拓扑下连续变化。
• 开发新的分析工具——特别是针对双曲时刻的 Pliss 型引理，以及对 Gibbs $cu$-态的新表征——这些工具在光滑遍历理论中具有独立意义。

提出的方法

• 提出一个新的 Pliss 型引理，证明在适当条件下，双曲时刻的频率可趋近于 1，从而确保动力系统中强双曲性。
• 通过不稳定流形的结构与稳定叶状结构的绝对连续性，提出对 Gibbs $cu$-态的新表征。
• 利用 $r > 1$ 时几乎处处扩张条件在 $C^r$ 拓扑下的开性，构造一个邻域，使得物理测度的数量保持有界。
• 应用 Gibbs $u$-态理论及其与物理测度的关系，通过吸引盆与勒贝格测度的性质进行分析。
• 通过反证法证明物理测度数量的上半连续性，利用局部不稳定流形中的体积增长与绝对连续性。
• 通过在凸组合中对系数使用置换矩阵，证明扰动系统物理测度收敛于原系统的物理测度，从而建立统计稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系统为传递时，几乎处处扩张的 $C^r$ 微分同胚在小 $C^r$ 逼近下，其物理测度如何变化？
• RQ2 在非传递情形下，物理测度的数量在扰动下的行为如何？
• RQ3 在几乎处处扩张条件下，能否控制双曲时刻的频率使其趋近于 1？这对统计稳定性有何影响？
• RQ4 能否导出对 Gibbs $cu$-态的新表征，使其在研究部分双曲系统中的物理测度时具有实用性？
• RQ5 在何种条件下，从微分同胚到其物理测度的映射在弱*拓扑下保持连续？

主要发现

• 对于传递的几乎处处扩张 $C^r$ 微分同胚（$r > 1$），存在唯一的物理测度，其在动力系统扰动下保持存在且连续变化。
• 在非传递情形下，物理测度的数量随微分同胚上半连续变化，即扰动可能导致数量减少，但不会增加。
• 在保持物理测度数量不变的扰动下，物理测度在弱*拓扑下连续变化。
• 建立了一个新的 Pliss 型引理，表明在几乎处处扩张条件下，双曲时刻的频率可被控制得任意接近于 1。
• 提出了一种 Gibbs $cu$-态的新表征，基于不稳定流形中吸引盆的完整叶体积与稳定叶状结构的绝对连续性。
• 在传递情形下，物理测度唯一，其吸引盆具有勒贝格测度几乎处处满测度，该结论由几乎处处扩张条件的开性与传递性共同推出。