[论文解读] On the additivity conjecture for channels with arbitrary constraints

M. E. Shirokov|ArXiv.org|Aug 29, 2003

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了在任意输入约束下量子通道的可加性猜想，将先前针对线性约束的结果推广。通过引入受限最大距离性质，建立了霍尔沃容量可加性的必要与充分条件，并通过χ-函数子加性的新表征，证明了无约束通道的全局可加性蕴含纠缠形成度的强超可加性。

ABSTRACT

Recently Shor proved equivalence of several open (sub)additivity problems related to the Holevo capacity and the entanglement of formation [15]. In our previous note [6] equivalence of these to the additivity of the Holevo capacity for channels with arbitrary linear constraints was shown. This note is the development of the previous one in the direction of channels with general constraints. Introducing input constraints provides greater flexibility in the treatment of the additivity conjecture. The Holevo capacity of arbitrarily constrained channel is considered and the characteristic property of an optimal ensemble for such channel is derived, generalizing the maximal distance property of Schumacher and Westmoreland (proposition 1). It is shown that the additivity conjecture for two channels with single linear constraints is equivalent to the similar conjecture for two arbitrarily constrained channels and, hence, to an interesting subadditivity property of the $χ$-function for the tensor product of these channels (theorem 1). We also propose an alternative way of proving that the additivity conjecture for any two unconstrained channels implies strong superadditivity of the entanglement of formation. The arguments from the convex analysis provide another characterization of channels for which subadditivity of the $χ$-function holds (theorem 3). This characterization and some modification of Shor's channel extension provide a simple way of proving that global additivity of the minimum output entropy for unconstrained channels implies global subadditivity of the $χ$-function and strong superadditivity of the entanglement of formation.

研究动机与目标

• 将量子通道的可加性猜想从线性约束推广至任意闭合输入约束。
• 为受限通道中的最优 ensemble 推导广义最大距离性质，推广舒马克和韦斯特莫兰德的结果。
• 通过χ-函数子加性，建立两个受限通道霍尔沃容量可加性的必要与充分条件。
• 通过新表征，证明全局最小输出熵可加性蕴含纠缠形成度的强超可加性。
• 通过引入渐近可加性与通道扩展技术，统一并推广肖尔、霍尔沃及他人的结果。

提出的方法

• 引入一个适用于任意闭合输入约束通道的一般框架，由允许的平均输入态集合 𝒜 ⊆ 𝒮(ℋ) 定义。
• 通过涉及相对熵的广义最大距离不等式，推导受限通道最优 ensemble 的特征性质：对所有平均态属于 𝒜 的 ensemble，有 ∑ⱼ μⱼ S(Φ(ωⱼ) ‖ Φ(ρₐᵥ)) ≤ χ_Φ({πᵢ, ρᵢ})。
• 将肖尔的通道扩展构造应用于通道序列，引入渐近可加性的概念，以刻画受限可加性的必要与充分条件。
• 利用 MSW 对应关系及纠缠形成度的连续性，建立 χ-函数 χ_Φ(ρ) 的连续性与拟凹性。
• 运用凸分析与勒让德变换，分析函数 f(x) = H(Φ(xσ + (1−x)ρ)) − H(Φ(ρ)) 及其导数 f’(x) 的行为，尤其在 x=0 和 x=1 处。
• 通过扰动论证与 Δ = χ_Φ⊗Ψ(σ) − χ_Φ(ρ) − χ_Ψ(ϱ) 的符号，证明 χ-函数在通道张量积下的子加性等价于任意约束下霍尔沃容量的可加性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个具有任意输入约束的量子通道的霍尔沃容量是可加的？
• RQ2 受限通道中最优 ensemble 的广义最大距离性质与 χ-函数可加性之间有何关系？
• RQ3 χ-函数在张量积通道下的子加性是否等价于无约束通道的全局可加性猜想？
• RQ4 无约束通道的最小输出熵可加性是否可通过 χ-函数子加性推导出纠缠形成度的强超可加性？
• RQ5 渐近可加性在通过肖尔通道扩展刻画受限通道可加性中起什么作用？

主要发现

• 𝒜-受限通道的最优 ensemble 满足广义最大距离性质：对所有平均态属于 𝒜 的 ensemble，有 ∑ⱼ μⱼ S(Φ(ωⱼ) ‖ Φ(ρₐᵥ)) ≤ χ_Φ({πᵢ, ρᵢ})。
• 具有单一线性约束的两个通道的霍尔沃容量可加性，等价于任意受限通道的可加性，且进一步等价于其张量积下 χ-函数的子加性。
• χ-函数的子加性在若干类通道中成立，如命题 4 所示，包括最优 ensemble 满足特定支撑条件的情形。
• 可加性的必要与充分条件由不等式 f’(1) ≤ Δ 给出，其中 f(x) 是与输出熵相关的凹函数，Δ 为霍尔沃量的差值。
• 主定理的逆命题引出渐近可加性的概念，使主结果可重新表述为可加性的必要与充分条件。
• χ-函数的全局子加性等价于纠缠形成度的强超可加性，为 [15] 中的结果提供了替代证明。