[论文解读] On the $\alpha$-spectral radius of graphs

Haiyan Guo, Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Graph theory and applications参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究了各类图类的 α-谱半径 ρα(G)，即 Aα(G) = αD(G) + (1−α)A(G) 的最大特征值。研究为单环图和非正则图建立了紧致的上界，确定了具有第二大方差和直径约束下最大 α-谱半径的唯一树，并证明了边重定位对谱半径的影响，最终刻画了使最大度与 ρα(G) 差值最大的图。

ABSTRACT

For $0\le \alpha\le 1$, Nikiforov proposed to study the spectral properties of the family of matrices $A_{\alpha}(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$ of a graph $G$, where $D(G)$ is the degree diagonal matrix and $A(G)$ is the adjacency matrix. The $\alpha$-spectral radius of $G$ is the largest eigenvalue of $A_{\alpha}(G)$. We give upper bounds for $\alpha$-spectral radius for unicyclic graphs $G$ with maximum degree $\Delta\ge 2$, connected irregular graphs with given maximum degree and and some other graph parameters, and graphs with given domination number, respectively. We determine the unique tree with second maximum $\alpha$-spectral radius among trees, and the unique tree with maximum $\alpha$-spectral radius among trees with given diameter. For a graph with two pendant paths at a vertex or at two adjacent vertex, we prove results concerning the behavior of the $\alpha$-spectral radius under relocation of a pendant edge in a pendant path. We also determine the unique graphs such that the difference between the maximum degree and the $\alpha$-spectral radius is maximum among trees, unicyclic graphs and non-bipartite graphs, respectively.

研究动机与目标

• 将已知的树的 α-谱半径上界扩展至单环图。
• 确定所有树中具有第二大方差的唯一树。
• 识别在给定直径下具有最大 α-谱半径的唯一树。
• 分析在悬垂路径中移动一个悬挂边对 α-谱半径的影响。
• 刻画在树、单环图和非二分图类中，使最大度与 α-谱半径差值最大的唯一图。

提出的方法

• 使用矩阵 Aα(G) = αD(G) + (1−α)A(G)，其中 D(G) 为度矩阵，A(G) 为邻接矩阵。
• 应用 Perron-Frobenius 定理，确保当 0 ≤ α < 1 时，连通图具有唯一的正特征向量（Perron 向量）。
• 采用变分法和特征值交错性，比较图修改前后 ρα(G) 与 ρα(G′) 的关系。
• 利用引理 2.1 和推论 2.1，证明某些边重定位操作严格增加 ρα(G)。
• 通过代数运算和三次多项式根的分析，计算 Sn + e 的 α-谱半径，即星图附加一条边后的谱半径。
• 应用 Cauchy-Schwarz 不等式和迹恒等式，推导谱能量和 Estrada 指数的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于最大度 ∆ ≥ 2 的单环图，α-谱半径的最紧致上界是什么？
• RQ2 在所有阶为 n 的树中，哪棵树具有第二大方差的 α-谱半径？
• RQ3 在所有具有固定直径的树中，哪棵树具有最大的 α-谱半径？
• RQ4 在悬垂路径中移动一个悬挂边如何影响 α-谱半径？该影响能否被严格证明？
• RQ5 在树、单环图和非二分图类中，哪类图使最大度与 α-谱半径的差值达到最大？

主要发现

• 最大度 ∆ ≥ 2 的树的 α-谱半径上界同样适用于单环图。
• 所有树中具有第二大方差 α-谱半径的唯一树是双星 S_{2,n-2}，其中心边连接度数为 2 和 n−2 的顶点。
• 在给定直径 d 的树中，具有最大 α-谱半径的唯一树是双星 S_{k,d−k}，其中 k 取适当值。
• 对于在某顶点或两个相邻顶点处有两条悬垂路径的图，将悬挂边向中心移动可增加 α-谱半径，从而证实了文献 [26] 中的猜想。
• 在树、单环图和非二分图类中，使最大度与 α-谱半径差值最大的唯一图是星图附加一条边，即 Sn + e。
• Sn + e 的 α-谱半径是三次方程 h(t) = t³ − (α(n+1)+1)t² + ((α²+3α−1)(n−1)+α(α+1))t + (1−2α)(α+1)(n−1) − 2(1−α)² = 0 的最大实根。