[论文解读] On the amplitude of External Perturbation and the Chaos via Devil's Staircase -Stability of Attractors -

Sadataka Furui, Tomoyuki Takano|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2013

Chaos control and synchronization参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文研究了外部正弦扰动对忆阻器蔡氏电路中混沌的影响，通过法雷序列的频率锁定窗口展示了通向混沌的魔鬼阶梯路径。在 C=1.0 时识别出稳定且隐藏的吸引子，在 C=1.2 时则出现受扰动的动力学，将频率锁定响应与电磁场对称性中的八元数结构及共振联系起来。

ABSTRACT

We made the chaotic circuit proposed by Chua and the memristic circuit proposed by Muthuswamy and Chua, and analyzed the behavior of the voltage of the capacitor, electric current in the inductor and the voltage of the memristor by adding an external sinusoidal oscillation ${\dot y}(t)\simeq {\dot i_L}(t)$ of a type $γω\cosωt$, while the ${\dot x}(t)\simeq {\dot v_C}(t)$ is given by $y(t)/C$, and studied the Devil's staircase route to chaos. We compared the frequency of the driving oscillation $f_s$ and the frequency of the response $f_d$ in the window and assigned $W=f_s/f_d$ to each window. When capacitor $C=1.0$, we observe stable attractors of Farey sequences $\displaystyle W=\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}, \cdots ,\frac{14}{15},\frac{1}{1}\}$, which can be interpreted as hidden attractors, while when $C=1.2$, we observe unstable attractors. Possible role of octonions in quantum mechanics and Cartan's supersymmetry is discussed.

研究动机与目标

• 研究外部正弦扰动对忆阻器蔡氏电路中混沌动力学的影响。
• 分析通过驱动系统中魔鬼阶梯行为出现的频率锁定窗口。
• 探讨八元数在通过电磁场对称性稳定或破坏混沌吸引子中的作用。
• 在不同扰动幅度下区分奇异非混沌吸引子（SNAs）与混沌吸引子。
• 研究吸引子稳定性随电容 C 和驱动频率比 W = fs/fd 的变化。

提出的方法

• 基于蔡氏与穆图斯瓦米-蔡氏模型构建了一个混沌忆阻器电路，电容分别为 C=1.0 和 C=1.2。
• 在电感电流 iL(t) 上施加外部正弦电流扰动 γωcos(ωt)，将其建模为驱动力。
• 使用 Mathematica 中的精细网格点进行数值积分，追踪电容电压 vC1、vC2 和电感电流 iL。
• 定义频率比 W = fs/fd（源频率 / 响应频率），以识别魔鬼阶梯结构中的周期窗口。
• 使用 Poincaré 映射，条件为 Mod[ωt, 2π] = 0，分析相空间中吸引子的结构。
• 利用八元数代数（O = H + lH）分析共振与稳定性，将其与电磁场中的旋量理论及 G2 群对称性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 外部正弦扰动的振幅如何影响忆阻器蔡氏电路中混沌的转变？
• RQ2 频率比 W = fs/fd 在生成魔鬼阶梯结构中的周期窗口中起什么作用？
• RQ3 为何在 C=1.0 时，稳定吸引子以法雷序列 W = {1/2, 2/3, 3/4, ..., 14/15, 1/1} 形式出现，而在 C=1.2 时其表现不同？
• RQ4 八元数结构如何与驱动忆阻器系统中混沌吸引子的共振和稳定性相关联？
• RQ5 在李雅普诺夫指数和扰动幅度响应方面，奇异非混沌吸引子（SNAs）与混沌吸引子有何区别？

主要发现

• 在 C=1.0 时，系统表现出对应于法雷序列窗口 W = {1/2, 2/3, 3/4, ..., 14/15, 1/1} 的稳定且隐藏的吸引子，表明通过魔鬼阶梯实现周期加法行为。
• 在 C=1.2 时，吸引子变得紊乱，表明由于电容改变与扰动相互作用导致稳定性丧失。
• 当 W=1 时，驱动频率 ω 接近 W=6/7 频率的 8 倍，提示与八元数结构相关的共振模式。
• 忆阻器电流的 Poincaré 映射在特定频率区域显示出复杂结构，表明存在非平凡的动力学组织。
• 当扰动幅度较小时观察到非混沌奇异吸引子（SNAs），但随着幅度增大，其转变为混沌吸引子。
• 八元数基（O = H + lH）为理解电路中电磁场对称性及共振匹配，特别是在频率锁定区域，提供了理论框架。