[论文解读] On the arithmetic of crossratios and generalised Mertens' formulas

Jouni Parkkonen, Frédéric Paulin|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文建立了关于虚二次域和ℚ上定值四元数代数相关双曲空间中算术点的广义梅尔滕斯公式与等分布结果。通过双曲几何中的交比与公共垂线导出的几何复杂度度量，证明了二次无理数的迹以及二元二次型、赫尔米特型与哈密顿型对整数表示的渐近计数律与弱-star等分布，且给出了明确的误差界。

ABSTRACT

We develop the relation between hyperbolic geometry and arithmetic equidistribution problems that arises from the action of arithmetic groups on real hyperbolic spaces, especially in dimension up to 5. We prove generalisations of Mertens' formula for quadratic imaginary number fields and definite quaternion algebras over the rational numbers, counting results of quadratic irrationals with respect to two different natural complexities, and counting results of representations of (algebraic) integers by binary quadratic, Hermitian and Hamiltonian forms with error bounds. For each such statement, we prove an equidistribution result of the corresponding arithmetically defined points. Furthermore, we study the asymptotic properties of crossratios of such points, and expand Pollicott's recent results on the Schottky-Klein prime functions.

研究动机与目标

• 将经典的梅尔滕斯公式推广至虚二次域与定值四元数代数中的算术计数问题。
• 基于到伽罗瓦共轭的距离定义新颖的复杂度度量，建立二次无理数迹的等分布结果。
• 推导二元二次型、赫尔米特型与哈密顿型对整数表示的渐近计数公式，并给出明确的误差项。
• 探讨双曲3-空间中算术点交比的渐近行为，并将其与谱不变量和几何不变量联系起来。
• 通过双曲几何中的几何与动力学方法，推广波利科特关于施托奇-克莱因素函数的结果。

提出的方法

• 利用算术群在实与复双曲空间上的作用，通过ℂ与ℍ中的范数与距离定义自然的复杂度度量。
• 将等分布理论应用于算术点处的狄拉克测度，证明当复杂度增加时弱-star收敛至ℂ或ℍ上的勒贝格测度。
• 利用双曲空间中点的交比分析渐近几何，并将其与谱数据和zeta函数关联。
• 通过将测地区域商的体积与类数、单位根与zeta函数留数等算术不变量关联，推导计数公式。
• 利用双曲球面与测地线之间公共垂线的几何性质，将长度表达为代数整数范数的形式。
• 应用双曲几何中的结果，包括轨道器体积公式与稳定子子群，推导带误差项的渐近展开式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将梅尔滕斯公式推广至以理想范数与约化范数为度量的虚二次域复平面与哈密顿四元数代数中的算术点计数？
• RQ2 当复杂度由到伽罗瓦共轭的距离定义时，实与复二次无理数的迹的等分布行为如何？
• RQ3 二元二次型、赫尔米特型与哈密顿型对整数表示的渐近性态如何与双曲3-空间的几何及算术不变量相关联？
• RQ4 双曲空间中算术点的交比在推广波利科特关于施托奇-克莱因素函数结果中起何作用？
• RQ5 双曲3-空间中算术商的体积与稳定子数据如何决定计数渐近展开中的主项系数？

主要发现

• 对于虚二次域中分式理想𝔪内的u,v，u/v处狄拉克测度的归一化和在s→∞时在ℂ上等分布至勒贝格测度，密度与|DK|ζK(2)/(2πs²)成正比。
• 对于ℚ上定值四元数代数A，ℍ中uv⁻¹处狄拉克测度的归一化和在s→∞时在ℍ上等分布至勒贝格测度，密度∝ π²ζ(3)∏(p³−1)/(360DA s⁴)。
• 在PSL₂(ℤ)的有限指数子群G作用下，G-轨道中二次无理数的迹在ε→0时等分布至ℝ上的勒贝格测度，密度∝ π²[PSL₂(ℤ):G]ε/(6[PSL₂(ℤ)α₀:Gα₀]Rα₀)。
• 在虚二次域K≠ℚ(√−4中，黄金比例φ的Γ₀(𝔠)·φ轨道中迹在ε→0时等分布至ℂ上的勒贝格测度，密度∝ |DK|³/²ζK(2)n(𝔠)∏(1+1/n(p))ε²/(4π²kc ln φ)。
• 双曲3-空间中公共垂线的计数函数ψ̄G,x,y(s)渐近增长为s²，其系数涉及调节子、zeta函数与类数不变量。
• 通过测地区域与稳定子子群的体积比推导出计数函数渐近展开的主项，得到误差项O(s⁻ᵏ)（k>0）。