[论文解读] On the asymptotic approximation to the probability distribution of extremal precipitation

V. Yu. Korolev, Andrey Gorshenin|arXiv (Cornell University)|May 31, 2017

Hydrology and Drought Analysis参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对湿期内最大逐日降水量分布的渐近近似，通过形状参数小于1的负二项分布建模湿期持续时间。极限分布为伽马混合的极值威布尔分布，等价于Snedecor-Fisher分布随机变量的正幂次，通过参数估计与混合表示，实现了对极端降水事件的精确建模与模拟。

ABSTRACT

Based on the negative binomial model for the duration of wet periods measured in days, an asymptotic approximation is proposed for the distribution of the maximum daily precipitation volume within a wet period. This approximation has the form of a scale mixture of the Frechet distribution with the gamma mixing distribution and coincides with the distribution of a positive power of a random variable having the Snedecor-Fisher distribution. The proof of this result is based on the representation of the negative binomial distribution as a mixed geometric (and hence, mixed Poisson) distribution and limit theorems for extreme order statistics in samples with random sizes having mixed Poisson distributions. Some analytic properties of the obtained limit distribution are described. In particular, it is demonstrated that under certain conditions the limit distribution is mixed exponential and hence, is infinitely divisible. It is shown that under the same conditions the limit distribution can be represented as a scale mixture of stable or Weibull or Pareto or folded normal laws. The corresponding product representations for the limit random variable can be used for its computer simulation. Several methods are proposed for the estimation of the parameters of the distribution of the maximum daily precipitation volume. The results of fitting this distribution to real data are presented illustrating high adequacy of the proposed model. The obtained mixture representations for the limit laws and the corresponding asymptotic approximations provide better insight into the nature of mixed probability ("Bayesian") models.

研究动机与目标

• 开发一种统计上可靠的渐近近似方法，用于湿期内最大逐日降水量的分布，以解决传统几何模型的不足。
• 使用形状参数小于1的负二项分布对湿期持续时间进行建模，其对真实气象数据的拟合优于几何分布。
• 基于混合泊松与极值顺序统计理论，建立极端降水的极限分布为伽马混合的极值威布尔分布。
• 提出基于最小二乘法与概率图示的计算可行参数估计方法，用于实际数据拟合。
• 通过长期逐日降水量数据在波茨坦与埃利斯塔的实证拟合，验证模型，展示其高度的模型适配性。

提出的方法

• 将负二项分布表示为混合几何分布与混合泊松分布，以应用随机样本量下极值顺序统计的极限定理。
• 应用混合泊松样本中极值顺序统计的极限定理，推导最大逐日降水量的渐近分布。
• 将极限分布推导为伽马分布混合的极值威布尔分布，等价于Snedecor-Fisher分布随机变量的正幂次。
• 提出两种参数估计方法：一种基于概率图示的“粗略”方法，另一种基于顺序统计与变换分位数的最小二乘法。
• 利用极限分布的乘积表示进行模拟，包括在特定条件下适用的稳定分布、威布尔分布、帕累托分布与折叠正态分布。
• 采用截断技术评估模型在不同湿期阈值（1至15天）下的渐近行为，评估模型精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 形状参数小于1的负二项分布是否能比传统几何分布更优地描述真实降水量数据中的湿期持续时间？
• RQ2 当湿期持续时间服从形状参数小于1的负二项分布时，湿期内最大逐日降水量的渐近分布为何种形式？
• RQ3 所得极限分布如何表示为极值威布尔分布的尺度混合？其解析性质（如无限可分性）为何？
• RQ4 从真实降水量数据中估计渐近模型参数的高效且精确的方法有哪些？
• RQ5 所提出的渐近模型在不同湿期长度阈值下，对经验极端降水量分布的近似效果如何？

主要发现

• 最大逐日降水量的渐近分布为伽马混合的极值威布尔分布，等价于Snedecor-Fisher分布随机变量的正幂次。
• 在特定条件下，极限分布为无限可分，可表示为稳定分布、威布尔分布、帕累托分布或折叠正态分布的尺度混合。
• 最小二乘参数估计方法（公式22与23）的估计精度高于“粗略”概率图示法。
• 该模型对波茨坦（r = 0.847）与埃利斯塔（r = 0.876）的实证数据拟合极佳，即使在截断阈值达15天且样本量超过150的情况下亦成立。
• 当截断阈值≥3天时，近似仍保持准确，且阈值对精度的影响大于样本量。
• 该模型的混合表示形式使得可通过极限随机变量的乘积表示，高效实现极端降水量事件的计算机模拟。