[论文解读] On the Asymptotic Capacity of $X$-Secure $T$-Private Information Retrieval with Graph Based Replicated Storage

Zhuqing Jia, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2019

Cryptography and Data Security参考文献 31被引用 8

一句话总结

该论文建立了基于图结构复制存储的X-安全T-私密信息检索（GXSTPIR）的渐近容量，提出了一种新颖的方案，利用双重广义里德-所罗门码实现速率 $(\rho_{\min} - X - T)/N$，其中 $\rho_{\min}$ 为最小复制因子。当 $X=0$ 时，容量被完全表征，对于 $T=1$ 和三重复制存储，渐近速率等于 $2/\nu_2(G)$。

ABSTRACT

The problem of private information retrieval with graph-based replicated storage was recently introduced by Raviv, Tamo and Yaakobi. Its capacity remains open in almost all cases. In this work the asymptotic (large number of messages) capacity of this problem is studied along with its generalizations to include arbitrary $T$-privacy and $X$-security constraints, where the privacy of the user must be protected against any set of up to $T$ colluding servers and the security of the stored data must be protected against any set of up to $X$ colluding servers. A general achievable scheme for arbitrary storage patterns is presented that achieves the rate $(ρ_{\min}-X-T)/N$, where $N$ is the total number of servers, and each message is replicated at least $ρ_{\min}$ times. Notably, the scheme makes use of a special structure inspired by dual Generalized Reed Solomon (GRS) codes. A general converse is also presented. The two bounds are shown to match for many settings, including symmetric storage patterns. Finally, the asymptotic capacity is fully characterized for the case without security constraints $(X=0)$ for arbitrary storage patterns provided that each message is replicated no more than $T+2$ times. As an example of this result, consider PIR with arbitrary graph based storage ($T=1, X=0$) where every message is replicated at exactly $3$ servers. For this $3$-replicated storage setting, the asymptotic capacity is equal to $2/ν_2(G)$ where $ν_2(G)$ is the maximum size of a $2$-matching in a storage graph $G[V,E]$. In this undirected graph, the vertices $V$ correspond to the set of servers, and there is an edge $uv\in E$ between vertices $u,v$ only if a subset of messages is replicated at both servers $u$ and $v$.

研究动机与目标

• 确定在仅在部分服务器子集上存储消息的基于图的复制存储下，X-安全T-私密信息检索（GXSTPIR）的渐近容量。
• 将先前关于T-私密和X-安全PIR的研究结果推广至任意存储模式，包括非均匀复制。
• 设计一种可实现方案，利用结构化编码——特别是双重广义里德-所罗门码——以实现高效私密且安全的检索。
• 建立一个通用的反证界，该界在多种情形下与可实现速率匹配，从而在关键情况下表征容量。

提出的方法

• 提出一种GXSTPIR的新可实现方案，实现速率 \/rho_{\min} - X - T)/N$，其中 $\rho_{\min}$ 为任意消息存储的最少服务器数量。
• 引入一种受双重广义里德-所罗门（GRS）码启发的编码结构，以对齐干扰并实现安全、私密的查询设计。
• 使用跨子空间对齐和编码查询设计，同时满足 $T$-隐私（对抗 $T$ 个合谋服务器）和 $X$-安全（对抗 $X$ 个合谋服务器）的要求。
• 基于信息论不等式（包括互信息和马尔可夫链论证）应用一个通用的反证界。
• 通过 $X$-安全和 $T$-隐私的约束推导反证，表明在这些条件下互信息项消失。
• 在对称和低复制设置中证明反证的紧致性，特别是针对 $X=0$ 和 $\rho_{\min} \leq T+2$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意基于图的复制存储模式，X-安全T-私密信息检索的渐近容量是多少？
• RQ2 能否为GXSTPIR构建一个通用的可实现方案，使其适用于任意存储模式并同时满足 $X$-安全和 $T$-隐私？
• RQ3 容量如何依赖于消息在服务器间的复制结构，特别是当复制限制在 $T+2$ 台或更少服务器时？
• RQ4 本文推导的反证界是否对一大类存储图和参数都具有紧致性？
• RQ5 当 $X=0$（无安全约束）且每条消息最多复制 $T+2$ 次时，精确的渐近容量是多少？

主要发现

• 当 $X=0$ 且每条消息最多复制 $T+2$ 次时，GXSTPIR的渐近容量被完全表征，对于 $T=1$ 和三重复制存储，速率等于 $2/\nu_2(G)$。
• 所提出的方案实现了速率 $(\rho_{\min} - X - T)/N$，在对称存储模式及其他结构化设置中与反证界匹配。
• 对于 $T=1$ 和三重复制存储，渐近容量为 $2/\nu_2(G)$，其中 $\nu_2(G)$ 是存储图 $G$ 中最大2-匹配的大小。
• 反证界在所有容量已被解决的情形中都是紧致的，包括对称复制和低复制场景。
• 使用双重GRS码可实现一种结构化的干扰对齐方案，同时满足 $T$-隐私和 $X$-安全约束。
• 结果推广了先前关于PIR、TPIR和XSTPIR的研究成果，将它们统一于基于图的复制存储的单一框架之下。