[论文解读] On the asymptotic S_n-structure of invariant differential operators on symplectic manifolds

Qingchun Ren, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文研究了辛流形上不变微分算子的渐近表示论结构，重点关注对称群 $S_{n+1}$ 在多微分算子上的作用。证明了在维度为 $2d$ 的流形上，反射表示 $χ=ℂ^n$ 的 $≤ 2d+1$ 重张量幂的同型分量由泊松多项式张成，并为这些分量提供了显式的有理生成函数，其分母与钩长相关。

ABSTRACT

We consider the space of polydifferential operators on n functions on symplectic manifolds invariant under symplectic automorphisms, whose study was initiated by Mathieu in 1995. Permutations of inputs yield an action of S_n, which extends to an action of S_{n+1}. We study this structure viewing n as a parameter, in the sense of Deligne's category. For manifolds of dimension 2d, we show that the isotypic part of this space of <= 2d+1-th tensor powers of the reflection representation h=C^n of S_{n+1} is spanned by Poisson polynomials. We also prove a partial converse, and compute explicitly the isotypic part of <= 4-th tensor powers of the reflection representation. We give generating functions for the isotypic parts corresponding to Young diagrams which only differ in the length of the top row, and prove that they are rational functions whose denominators are related to hook lengths of the diagrams obtained by removing the top row. This also gives such a formula for the same isotypic parts of induced representations from Z/(n+1) to S_{n+1} where n is viewed as a parameter. We apply this to the Poisson and Hochschild homology associated to the singularity C^{2dn}/S_{n+1}. Namely, the Brylinski spectral sequence from the zeroth Poisson homology of the S_{n+1}-invariants of the n-th Weyl algebra of C^{2d} with coefficients in the whole Weyl algebra degenerates in the 2d+1-th tensor power of h, as well as its fourth tensor power. Furthermore, the kernel of this spectral sequence has dimension on the order of 1/n^3 times the dimension of the homology group.

研究动机与目标

• 理解当 $n$ 变化时，辛流形上不变多微分算子的渐近 $S_{n+1}$-表示结构。
• 以泊松多项式的形式刻画低高度（至 $2d+1$）的不变算子空间的同型分量。
• 计算对应于仅在第一行长度上不同的杨图的同型部分的显式生成函数，其分母与钩长相关。
• 分析阶数为 $2m$ 的不变算子维数的多项式增长，分离泊松多项式部分与非泊松部分的贡献。
• 将结果应用于商奇点 $\mathbb{C}^{2dn}/S_{n+1}$ 的泊松同调与 Hochschild 同调，证明在低高度同型分量中存在同构。

提出的方法

• 使用 Deligne 的范畴框架将 $n$ 视为参数，从而实现对 $S_{n+1}$-表示的渐近分析。
• 应用调和多项式理论与 $S_{n+1}$ 的表示论，分解反射表示 $χ$ 的张量幂。
• 通过涉及偏导数与泊松括号的表达式中的系数 $\lambda_i, \mu_i$ 显式构造微分算子。
• 利用阶数为 $2m$ 的算子上的 $S_3$-等变结构，分析对称与反对称部分，从而导出维数公式。
• 应用带符号扭转的映射 $\Phi: X_m \to Y_{m-1}$ 来关联同态并推导 $S_3$-表示分解。
• 通过分析通过移除第一行所得到的杨图的钩长，推导出同型分量的有理生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于维度为 $2d$ 的辛流形，其不变微分算子空间中，反射表示 $χ$ 的 $≤ 2d+1$ 重张量幂的同型分量具有何种结构？
• RQ2 同型分量 $\operatorname{Inv}_n(V)_{2m}$ 的维数随 $n$ 如何增长？其多项式增长的次数为何？
• RQ3 在不变算子的背景下，$χ^{\otimes k}$ 的同型分量与泊松多项式之间存在何种精确关系？
• RQ4 能否将仅在第一行长度上不同的杨图对应的同型部分的生成函数表示为分母与钩长相关的有理函数？
• RQ5 布里林斯基谱序列同构在低高度同型分量中，$\mathsf{HP}_0$ 与 $\mathsf{gr}\,\mathsf{HH}_0$ 之间的同构关系在多大程度上成立？

主要发现

• 在维度为 $2d$ 的流形上，不变算子空间中 $≤ 2d+1$ 重张量幂的同型分量由泊松多项式张成。
• 阶数为 $2m$ 的不变算子空间的维数在 $n$ 上是精确次数为 $2m$ 的多项式，而非泊松部分的维数多项式次数 $\leq 2m-3$。
• 当 $n \geq m+2$ 时，$\operatorname{Hom}_{S_{n+1}}(\mathfrak{h}^{\otimes 3}, \operatorname{Inv}_n(V)_{2m})$ 的维数为 $2m+1$，当 $n = m+1$ 时降至 $m$，当 $n \geq m+2$ 时消失。
• 仅在第一行长度上不同的杨图对应的同型部分的生成函数是有理函数，其分母为移除第一行后所得图的钩长的乘积。
• 从 $\mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{\mathbb{C}^{2dn}/S_{n+1}}, \mathcal{O}_{\mathbb{C}^{2dn}})$ 到 $\mathsf{gr}\,\mathsf{HH}_0(\mathsf{Weyl}(\mathbb{C}^{2dn})^{S_{n+1}}, \mathsf{Weyl}(\mathbb{C}^{2dn}))$ 的典范满射，限制在 $\mathfrak{h}^{\otimes \leq 2d+1}$ 的 $\u2264 2d+1$-次张量幂同型分量上，成为同构。
• 整个满射的核的维数渐近为 $\sim \frac{1}{n^3}$ 倍于同调群的维数。