[论文解读] Poisson traces for symmetric powers of symplectic varieties

Pavel Etingof, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文计算了仿射辛流形的对称幂上的 Poisson 跟踪空间，建立了 Poisson 同调零阶的对偶的对称代数与对称幂上 Poisson 跟踪的对偶的直和之间的典范同构。此外，识别出一个其解空间即为 Poisson 跟踪空间的典范 D-模结构，从而导出这些流形的量子化中有限维表示和素理想的界。

ABSTRACT

We compute the space of Poisson traces on symmetric powers of affine symplectic varieties. In the case of symplectic vector spaces, we also consider the quotient by the diagonal translation action, which includes the quotient singularities C^{2n-2}/S_n associated to the type A Weyl group S_n and its reflection representation C^{n-1}. We also compute the full structure of the natural D-module, previously defined by the authors, whose solution space over algebraic distributions identifies with the space of Poisson traces. As a consequence, we deduce bounds on the numbers of finite-dimensional irreducible representations and prime ideals of quantizations of these varieties. Finally, motivated by these results, we pose conjectures on symplectic resolutions, and give related examples of the natural D-module. In an appendix, the second author computes the Poisson traces and associated D-module for the quotients C^{2n}/D_n associated to type D Weyl groups. In a second appendix, the same author provides a direct proof of one of the main theorems.

研究动机与目标

• 计算仿射辛流形 $ Y $ 的对称幂 $ S^nY $ 上的 Poisson 跟踪空间，特别是辛向量空间的情形。
• 分析 $ S^n\bb{C}^{2n} $ 关于对角平移作用的商，包括与 $ A $ 型 Weyl 群 $ S_n $ 相关的奇点。
• 确定一个典范 $ \fancyscript{D} $-模的完整结构，其解空间与 Poisson 跟踪空间一致。
• 从该结构推导出对称幂的辛流形的量子化中有限维不可约表示和素理想的数量界。
• 提出并支持关于辛解析解的猜想，额外给出 $ D $ 型 Weyl 群商 $ T^*\bb{C}^n/D_n $ 的结果。

提出的方法

• 通过体积形式将 $ \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_Y) $ 与上同调 $ H^{\dim Y}(Y) $ 识别，建立 $ \operatorname{Sym}(\mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_Y)^* [t]) $ 与 $ \bigoplus_{n\geq 0} \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})^* $ 之间的典范同构，按 $ n $ 分次。
• 利用 $ \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})^* $ 同构于 $ \mathcal{O}_{Y^n} $ 上 $ S_n $-不变泛函模 Poisson 括号的事实。
• 在 $ S^nY $ 上构造一个典范 $ \fancyscript{D} $-模，使其在代数测度上的解空间同构于 Poisson 跟踪空间。
• 利用 $ \fancyscript{D} $-模结构，通过同构 $ \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})(\!(\hbar)\!) \cong \operatorname{gr} \mathsf{HH}_0(\operatorname{Sym}^n A_\hbar[\hbar^{-1}]) $，推导出任意量子化 $ B_\hbar $ 的 $ \dim \mathsf{HH}_0(B_\hbar[\hbar^{-1}]) $ 的界。
• 运用涉及 $ \mathfrak{sl}_2 $-作用于 $ \mathcal{O}_V^{S_n} $ 的表示论技巧，特别是利用最高权向量和对称化映射，证明某些对称多项式属于 Poisson 理想 $ \{\mathcal{O}_{V}^{S_n}, \mathcal{O}_{V}^{S_{n-1}}\} $。
• 使用对变量数 $ j $ 的归纳和对 $ y_n $ 次数 $ m $ 的反向归纳，证明 $ \operatorname{symm}'(x_1^{a_1}y_1^{b_1}\cdots x_j^{a_j}y_j^{b_j} y_n^m) \in \{\mathcal{O}_{V}^{S_n}, \mathcal{O}_{V}^{S_{n-1}}\} $，从而完成主定理的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于仿射辛流形 $ Y $，其对称幂 $ S^nY $ 上的 Poisson 跟踪空间的结构是什么？
• RQ2 $ S^nY $ 上的典范 $ \fancyscript{D} $-模如何与 Poisson 跟踪的解空间相关联？
• RQ3 在 $ S^nY $ 的量子化中，可以推导出有限维不可约表示和素理想的什么界？
• RQ4 这些结果如何推广到与 $ A $ 型 Weyl 群 $ S_n $ 相关的商奇点，特别是 $ T^*\bb{C}^{n-1}/S_n $？
• RQ5 对于 $ D $ 型 Weyl 群商 $ T^*\bb{C}^n/D_n $，其 $ \fancyscript{D} $-模和 Poisson 跟踪的结构是什么？

主要发现

• 存在一个分次代数的典范同构：$ \operatorname{Sym}(\mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_Y)^* [t]) \cong \bigoplus_{n\geq 0} \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})^* $，其中 $ |t| = 1 $，该同构将 $ S^nY $ 上 Poisson 跟踪的空间与第 $ n $ 个分次项对应起来。
• 对于连通的仿射辛流形 $ Y $，有 $ \dim \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY}) = a_n(\dim H^{\dim Y}(Y)) $，其中 $ a_n(i) $ 表示 $ n $ 的 $ i $-部分拆数。
• 对于 $ \mathcal{O}_Y $ 的任意形变量子化 $ A_\hbar $，有 $ \operatorname{gr} \mathsf{HH}_0(\operatorname{Sym}^n A_\hbar[\hbar^{-1}]) \cong \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})(\!(\hbar)\!) $，将 Poisson 同调与 Hochschild 同调联系起来。
• 对于 $ \mathcal{O}_{S^nY} $ 的任意量子化 $ B_\hbar $，有 $ \dim_{\bb{C}(\!(\hbar)\!)} \mathsf{HH}_0(B_\hbar[\hbar^{-1}]) \leq a_n(\dim H^{\dim Y}(Y)) $，给出一个紧确的上界。
• 在 $ S^nY $ 上构造的典范 $ \fancyscript{D} $-模满足其在代数测度上的解空间同构于 Poisson 跟踪空间。
• 对于 $ D $ 型 Weyl 群商 $ T^*\bb{C}^n/D_n $，第二作者在附录 A 中显式计算了 Poisson 跟踪和相关的 $ \fancyscript{D} $-模，将该框架扩展至 $ D $ 型奇点。