[论文解读] On the Asymptotics for the Vacuum Einstein Constraint Equations

Justin Corvino, Richard Schoen|ArXiv.org|Jan 21, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 22

一句话总结

本文構造了真空愛因斯坦約束方程的解，使其在緊緻區域內匹配給定的漸近平坦初始數據，且在大球之外漸近逼近克爾截面（或其它允許的解）。主要結果是此類數據在漸近平坦解的空間中是稠密的，表明緊緻擾動的數據可實現無限遠處任意期望的ADM能量-動量與角動量。

ABSTRACT

Given asymptotically flat initial data on M^3 for the vacuum Einstein field equation, and given a bounded domain in M, we construct solutions of the vacuum constraint equations which agree with the original data inside the given domain, and are identical to that of a suitable Kerr slice (or identical to a member of some other admissible family of solutions) outside a large ball in a given end. The data for which this construction works is shown to be dense in an appropriate topology on the space of asymptotically flat solutions of the vacuum constraints. This construction generalizes work of the first author, where the time-symmetric case was studied.

研究动机与目标

• 將科爾維諾（Corvino）的時對稱黏合構造推廣至非時對稱情形，並納入線性動量與角動量。
• 證明真空愛因斯坦方程的漸近平坦初始數據可經緊緻修改，使結果數據在大球之外匹配克爾截面（或類似解）。
• 確立與緊緻集外某給定解匹配之數據集合，在適當拓撲下，於所有漸近平坦解的空間中是稠密的。
• 透過選擇適當的克爾族成員作為漸近模型，控制無限遠處的ADM能量-動量與角動量。
• 展示唯一性推廣在強意義下失效，因為緊緻數據僅決定漸近結構的一部分，其受能量、動量與角動量等守恆量所支配。

提出的方法

• 使用截斷函數在環形區域內平滑地插值於原始初始數據與模型解（如克爾截面）之間。
• 在半徑為 $ R $ 的環形區域 $ A_R $ 上構造一參數族近似解 frac{\overline{g}_R, \overline{\pi}_R} $，使其在內邊界匹配原始數據，在外邊界匹配模型數據。
• 定義映射 $ \mathcal{I}_R(\lambda) $，用以測量約束條件偏離零的程度，並透過測試向量場（平移 $ X_k $、旋轉 $ Y_k $）將其投影至哈密頓與動量約束。
• 利用度理論與同倫不變性，證明當 $ R $ 足夠大時，映射 $ \mathcal{I}_R $ 存在零點，意味著在模型族中存在某參數 $ \lambda $ 使解存在。
• 透過選擇接近原始數據守恆量的模型參數 $ \lambda $，可使結果解的ADM量（能量-動量 $ E, \mathbf{P} $、角動量 $ \mathbf{J} $）任意接近原始數據的值。
• 利用度量與第二基本形式的漸近展開式與積分恆等式，將約束違反與大球面上的積分關聯，並利用漸近平坦數據的衰減性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否對真空愛因斯坦方程的漸近平坦初始數據進行緊緻修改，使結果數據在大球之外匹配克爾截面？
• RQ2 與緊緻集外克爾解一致的初始數據集合是否在所有漸近平坦解的空間中是稠密的？
• RQ3 在非時對稱情形下，此類黏合構造中如何控制數據的ADM能量-動量與角動量？
• RQ4 守恆量（能量、動量、角動量）在決定約束方程解的漸近結構中扮演何種角色？
• RQ5 對於真空愛因斯坦約束方程的解，唯一性推廣在何種程度上失效？

主要发现

• 該構造產生了與給定初始數據在緊緻區域內一致、且在大球之外匹配克爾截面（或其它允許解）的真空愛因斯坦約束方程解。
• 所產生的解可根據黏合中使用的克爾模型，實現無限遠處任意期望的ADM能量-動量與角動量。
• 與克爾解（或類似解）漸近一致的初始數據集合，在適當拓撲下，於所有漸近平坦解的空間中是稠密的。
• 該方法依賴於約束偏離映射 $ \mathcal{I}_R $ 的度理論，當模型參數 $ \lambda $ 選取接近原始數據守恆量時，證明其在大 $ R $ 時消失。
• 透過大球面上的積分分析約束違反的漸近行為，將哈密頓與動量約束投影至平移與旋轉場，以控制ADM量。
• 該構造顯示，緊支集數據僅決定由能量、動量與角動量等守恆量所支配的漸近結構部分，從而表明在強意義下唯一性推廣失效。