[论文解读] On the Bit Complexity of Sum-of-Squares Proofs

Prasad Raghavendra, Benjamin Weitz|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用 16

一句话总结

本文通过建立充分条件，解决了求和平方（SoS）证明的位复杂度问题，表明在某些条件下，低度SoS证明证书的系数可多项式有界；同时构造了一个反例，表明即使在布尔约束下，某些证书在高阶之前仍需双指数级系数。该工作既为常见优化问题提供了正面保证，也揭示了SoS证书高效可行性的普遍局限。

ABSTRACT

It has often been claimed in recent papers that one can find a degree d Sum-of-Squares proof if one exists via the Ellipsoid algorithm. In [O17], Ryan O'Donnell notes this widely quoted claim is not necessarily true. He presents an example of a polynomial system with bounded coeffcients that admits low-degree proofs of non-negativity, but these proofs necessarily involve numbers with an exponential number of bits, causing the Ellipsoid algorithm to take exponential time. In this paper we obtain both positive and negative results on the bit complexity of SoS proofs. First, we propose a suffcient condition on a polynomial system that implies a bound on the coefficients in an SoS proof. We demonstrate that this sufficient condition is applicable for common use-cases of the SoS algorithm, such as Max-CSP, Balanced Separator, Max- Clique, Max-Bisection, and Unit-Vector constraints. On the negative side, O'Donnell asked whether every polynomial system containing Boolean constraints admits proofs of polynomial bit complexity. We answer this question in the negative, giving a counterexample system and non-negative polynomial which has degree two SoS proofs, but no SoS proof with small coefficients until degree Omega(sqrt(n))

研究动机与目标

• 解决广泛引用但错误的观点，即单纯形法可通过半定规划高效找到度为d的SoS证明。
• 研究含有布尔约束的多项式系统是否总是存在位复杂度多项式有界的SoS证书。
• 识别出在常见优化问题中，SoS证明具有有界系数的充分条件。
• 构造一个反例，表明某些含布尔约束的系统在高阶之前，其证书需要双指数级系数。

提出的方法

• 提出基于谱丰富性、鲁棒性和解空间完备性的充分条件，以保证SoS系数有界。
• 定义解空间为谱丰富，若其矩矩阵具有较大的谱间隙，从而确保在解空间上消失的低次多项式可由低次SoS推导得出。
• 利用对称性及对置换的平均化，将一般多项式简化为对称形式，从而实现从约束中归纳推导出零多项式。
• 证明对于Max-CSP、平衡分割、最大团、最大双分割及单位向量约束等系统，其解空间满足上述充分条件。
• 构造一个含布尔约束和和约束的反例系统，其中度为2的非负多项式在度Ω(√n)之前无法存在小系数的SoS证书，其系数最大可达(1/(2ε))^(2^n)，其中ε = 1/(2n)。
• 利用对换生成对称群的事实，证明任何在解空间上消失的多项式，即使理想不是格鲁伯伯基（Gröbner basis），也具有低次SoS推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个包含布尔约束的多项式系统是否都存在位复杂度多项式有界的SoS证书？
• RQ2 多项式系统的何种结构特性可确保其SoS证书具有有界系数？
• RQ3 当系数大小为双指数级时，单纯形法能否高效找到度为d的SoS证明？
• RQ4 是否存在自然优化问题，其低度SoS证明必然涉及双指数级大小的系数？
• RQ5 在何种条件下，解空间的谱性质可保证高效SoS证书？

主要发现

• 一个充分条件——解空间的谱丰富性、鲁棒性和完备性——可保证低度SoS证书的系数多项式有界。
• 该充分条件适用于Max-CSP、平衡分割、最大团、最大双分割及单位向量约束等常见问题。
• 构造了一个反例，其中度为2的非负多项式在度Ω(√n)之前无法存在小系数的SoS证书，其系数最大可达(1/(2ε))^(2^n)，其中ε = 1/(2n)。
• 该反例使用含2n个变量及约束x_i^2 = x_i和∑x_i = n的系统，表明即使在布尔约束下，位复杂度仍可能为双指数级。
• 证明了最大双分割约束系统对所有d ≤ n均为d-完备，从而即使理想不是格鲁伯伯基，也能实现低度SoS推导。
• 该框架在格鲁伯伯基无法计算时仍适用，如最大双分割情形中，格鲁伯伯基的规模为指数级。