[论文解读] Sum-of-squares proofs and the quest toward optimal algorithms

Boaz Barak, David Steurer|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 47被引用 96

一句话总结

本文研究了平方和（SOS）层级作为设计最优近似算法的统一框架，将其与唯一博弈猜想（UGC）和小集合膨胀假设（SSEH）联系起来。研究表明，常数阶SOS证明可以认证支撑UGC/SSEH困难实例的关键不等式，暗示这些问题可能不像人们所认为的那样困难，若能获得更强的阶数界，甚至可能证伪这些猜想。

ABSTRACT

In order to obtain the best-known guarantees, algorithms are traditionally tailored to the particular problem we want to solve. Two recent developments, the Unique Games Conjecture (UGC) and the Sum-of-Squares (SOS) method, surprisingly suggest that this tailoring is not necessary and that a single efficient algorithm could achieve best possible guarantees for a wide range of different problems. The Unique Games Conjecture (UGC) is a tantalizing conjecture in computational complexity, which, if true, will shed light on the complexity of a great many problems. In particular this conjecture predicts that a single concrete algorithm provides optimal guarantees among all efficient algorithms for a large class of computational problems. The Sum-of-Squares (SOS) method is a general approach for solving systems of polynomial constraints. This approach is studied in several scientific disciplines, including real algebraic geometry, proof complexity, control theory, and mathematical programming, and has found applications in fields as diverse as quantum information theory, formal verification, game theory and many others. We survey some connections that were recently uncovered between the Unique Games Conjecture and the Sum-of-Squares method. In particular, we discuss new tools to rigorously bound the running time of the SOS method for obtaining approximate solutions to hard optimization problems, and how these tools give the potential for the sum-of-squares method to provide new guarantees for many problems of interest, and possibly to even refute the UGC.

研究动机与目标

• 研究平方和（SOS）方法是否能为一系列计算问题提供最优近似保证。
• 考察SOS方法与唯一博弈猜想（UGC）之间的联系，特别是在算法性能与近似难度方面的关系。
• 确定常数阶SOS证明是否能通过求解已知的困难实例来证伪UGC或SSEH。
• 开发用于界定认证优化中出现的多项式不等式所需SOS阶数的工具。
• 评估SOS方法在图膨胀和独立集等问题上是否能获得优于现有算法的近似保证。

提出的方法

• 使用SOS方法系统分析并认证图膨胀和独立集等优化问题中出现的多项式不等式。
• 应用基于阶数和维数的SOS证明阶数界，利用低阶SOS证明存在于不包含稀疏向量的子空间中的事实。
• 将Bonami-Beckner-Gross超展开性定理（以公式6的形式）作为核心组件，用于认证某些子空间不包含稀疏向量。
• 利用如下事实：若子空间W满足对所有x ∈ W_k，有E[x_i^4] ≤ 9^k (E[x_i^2])^2，则其存在常数阶SOS证明，意味着对稀疏向量具有鲁棒性。
• 利用SOS阶数界推导运行时间保证：在区分小集合膨胀问题时，SOS可在时间exp(O(n^τ))内完成，其中τ → 0当ε → 0。
• 分析SOS证明阶数对唯一博弈和小集合膨胀等问题复杂性的影响，表明常数阶SOS可求解已知的困难实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 SOS方法是否能如唯一博弈猜想所预测的那样，在一大类问题上提供最优近似保证？
• RQ2 唯一博弈猜想的已知困难实例是否实际上可由常数阶SOS证明求解？
• RQ3 认证子空间不包含稀疏向量所需的最小SOS阶数是多少？这与计算复杂性有何关联？
• RQ4 SOS方法是否能通过使用低阶证明求解其已知困难实例来证伪小集合膨胀假设？
• RQ5 现有针对独立集和膨胀等问题的困难结果在多大程度上依赖于可能被SOS算法推翻的假设？

主要发现

• 常数阶SOS证明可以认证支撑UGC和SSEH许多已知困难实例的Bonami-Beckner-Gross超展开性不等式。
• 关键不等式存在常数阶SOS证明，意味着这些困难实例可能不像先前认为的那样困难，从而对UGC和SSEH的有效性构成挑战。
• 对于小集合膨胀问题，SOS方法可在时间exp(O(n^τ))内区分膨胀≤ε与膨胀≥1−ε的图，其中τ → 0当ε → 0，显著优于暴力枚举。
• 若定理5.3中的SOS阶数界能改进至消除对d（维数）的依赖，则将证伪小集合膨胀假设。
• 本文表明，所有基于特定困难实例的UGC/SSEH已知困难结果均可被常数阶SOS证明证伪，表明SOS算法不再面临已知困难实例。
• SOS方法可能统一大量近似算法，可能在不针对每个问题单独设计的情况下实现最优保证，正如UGC所暗示的那样。