[论文解读] On the Book Thickness of 1-Planar Graphs
本文证明了1-平面图的书嵌入最多使用16页，而3-连通1-平面图最多使用12页，且可在给定1-平面嵌入的情况下在线性时间内计算得出。该方法利用了平面极大化扩充和分层顶点排序策略，将边分配到页面上以避免交叉，优于先前39页的上界。
In a book embedding of a graph G, the vertices of G are placed in order along a straight-line called spine of the book, and the edges of G are drawn on a set of half-planes, called the pages of the book, such that two edges drawn on a page do not cross each other. The minimum number of pages in which a graph can be embedded is called the book-thickness or the page-number of the graph. It is known that every planar graph has a book embedding on at most four pages. Here we investigate the book-embeddings of 1-planar graphs. A graph is 1-planar if it can be drawn in the plane such that each edge is crossed at most once. We prove that every 1-planar graph has a book embedding on at most 16 pages and every 3-connected 1-planar graph has a book embedding on at most 12 pages. The drawings can be computed in linear time from any given 1-planar embedding of the graph.
研究动机与目标
- 确定1-平面图书厚度的紧致上界。
- 开发一种从给定1-平面嵌入中构造1-平面图书嵌入的线性时间算法。
- 研究1-平面图的书厚度是否可低于16页，特别是针对3-连通图的情形。
- 探索允许高效书嵌入的1-平面图的结构特性，特别是通过平面极大化扩充。
- 解决1-平面图是否需要超过4页的开放问题，并与平面图的类似开放问题进行比较。
提出的方法
- 通过将每对交叉边扩充为K₄，构建平面极大化嵌入，同时保持骨架的平面性。
- 基于双连通分量和割点对，采用分层顶点排序策略，将顶点分配到层级，并围绕割点排序。
- 使用系统规则将边分配到16页：外边界上的边根据层级奇偶性分配到c₁或c₅页，内分量中的边则根据父边的页码和层级奇偶性进行分配。
- 对内分量采用递归放置策略，通过保持顶点顺序和邻接约束，确保同一页面上的边不交叉。
- 利用Yannakakis针对平面图的线性时间算法为平面骨架分配页面，然后通过扩充过程将其扩展以包含交叉边。
- 通过分析嵌入中顶点和边的几何与拓扑排序，证明每页上的边分配均无交叉。
实验结果
研究问题
- RQ1一般1-平面图的最大书厚度是多少？是否可将其上界低于39页？
- RQ23-连通1-平面图的书厚度能否低于16页？
- RQ3是否存在需要超过4页的1-平面图？如果是，哪些结构特征会导致更高的书厚度？
- RQ4是否存在一种线性时间算法，可从给定的1-平面嵌入中计算1-平面图的书嵌入？
- RQ51-平面图的书厚度与平面图相比如何？尤其在平面图的3页与4页猜想仍未解决的背景下。
主要发现
- 任何1-平面图的书厚度最多为16页，优于先前39页的上界。
- 对于3-连通1-平面图，书厚度最多为12页，显著优于一般情况。
- 给定1-平面嵌入时，存在一种线性时间算法可计算任意1-平面图的书嵌入。
- 若1-平面图的平面骨架是哈密顿图，则4页足以实现书嵌入。
- 本文证明了扩展轮图XW₈恰好需要4页，表明某些1-平面图确实需要4页。
- 本文建立了1-平面图可通过基于平面极大化扩充和分层分量分解的结构化顶点排序与页面分配策略，实现无页面交叉的嵌入。
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