[论文解读] On the $C^{1,1}$ regularity of geodesics in the space of Kähler metrics

Jianchun Chu, Valentino Tosatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文证明了在任意紧致凯勒流形上，凯勒度量空间中的弱测地线具有 $C^{1,1}$ 正则性，即任意两个凯勒势函数之间均可通过一条 $C^{1,1}$ 测地线段连接。该结果基于一个关于非退化复蒙日-安培方程解的新内部实海森估计，该估计不依赖于右端项的下界，从而在定义弱测地线的极限过程中实现了统一控制。

ABSTRACT

We prove that any two Kahler potentials on a compact Kahler manifold can be connected by a geodesic segment of C^{1,1} regularity. This follows from an a priori interior real Hessian bound for solutions of the nondegenerate complex Monge-Ampere equation, which is independent of a positive lower bound for the right hand side.

研究动机与目标

• 解决一个长期开放的问题：在无曲率或线丛假设下，凯勒度量空间中的弱测地线是否普遍具有 $C^{1,1}$ 正则性。
• 建立非退化复蒙日-安培方程解的先验内部实海森界，且该界不依赖于右端函数 $F$ 的正下界。
• 将该估计应用于弱测地线的 $\varepsilon$-测地线逼近，从而证明极限测地线的 $C^{1,1}$ 正则性。

提出的方法

• 通过引入一个精心构造的辅助函数（涉及 $|\partial\varphi|_g^2$）并运用最大值原理，推导出复蒙日-安培方程 $(\omega + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\varphi)^n = e^F \omega^n$ 解 $\varphi$ 的新内部 $C^{1,1}$ 估计。
• 构造一个包含 $|\partial\varphi|_g^2$ 的测试函数，并应用最大值原理以控制内点处的实海森矩阵 $\nabla^2\varphi$。
• 利用该估计不依赖于 $\inf_M F$ 的事实，使其可应用于测地线理论中出现的齐次复蒙日-安培方程。
• 将该估计应用于 $\varepsilon$-测地线逼近 $\Phi_\varepsilon$，其满足一个右端项为小正数的非退化复蒙日-安培方程。
• 利用 $\Phi_\varepsilon$ 及其一阶导数的统一有界性（与 $\varepsilon$ 无关），确保海森估计在 $\varepsilon$ 上的一致性。
• 取极限 $\varepsilon \to 0$，得出弱测地线 $\Phi$ 的实海森矩阵有界，因此 $\Phi$ 属于 $C^{1,1}(X \times \Sigma)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无曲率或线丛假设下，能否证明凯勒度量空间中的弱测地线具有 $C^{1,1}$ 正则性？
• RQ2 是否存在一种非退化复蒙日-安培方程解的内部 $C^{1,1}$ 估计，使得当右端项 $e^F$ 趋近于零时，该估计仍保持一致？
• RQ3 $\varepsilon$-测地线逼近是否满足与 $\varepsilon$ 无关的统一海森界？
• RQ4 能否通过极限论证，从这种统一海森界推导出弱测地线的 $C^{1,1}$ 正则性？
• RQ5 海森界对几何与分析数据（如 $\|\varphi\|_{C^1}$、$\sup \Delta_g \varphi$ 和 $\sup |\nabla F|_g$）的精确依赖关系为何？

主要发现

• 连接任意紧致凯勒流形上两个凯勒势函数的弱测地线 $\Phi$ 属于 $C^{1,1}(X \times \Sigma)$，从而解决了长期悬而未决的公开问题。
• 为非退化复蒙日-安培方程 $(\omega + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\varphi)^n = e^F \omega^n$ 的解建立了不依赖于 $\inf_M F$ 的内部 $C^{1,1}$ 估计，这是本研究的关键创新点。
• 证明了 $\varepsilon$-测地线逼近 $\Phi_\varepsilon$ 的海森矩阵界与 $\varepsilon$ 无关，从而确保了在极限过程中的统一控制。
• 取极限 $\varepsilon \to 0$ 后，得到的弱测地线 $\Phi$ 的实海森矩阵属于 $L^\infty$，从而蕴含其 $C^{1,1}$ 正则性。
• 该结果推广并简化了在曲率或线丛假设下先前的结果（如 Błocki 和 Berman 的工作）。
• 该方法为研究测地线正则性提供了新工具，可用于简化或拓展相关文献（如 [3] 和 [28]）中的结果。