[论文解读] On the $C^{\infty}$ version of the reflection principle for mappings between CR manifolds

S. Berhanu, Ming Xiao|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文建立了抽象CR流形之间CR映射的光滑（C^∞）版本的反射原理，证明了从CR维数较低或相等的CR流形到复空间中强拟凸一般CR子流形的C^k CR映射在某个稠密开子集上是光滑的。关键结果解决了X. Huang关于此类映射正则性的猜想，并通过微局部分析和加权 jets 消去技术，将解析性结果推广至光滑范畴。

ABSTRACT

We prove a smooth version of the classical Schwarz reflection principle for CR mappings between an abstract CR manifold $M$ and a generic CR manifold embedded in euclidean complex space. As a consequence of our results, we settle a conjecture of X. Huang and provide a solution to a question raised by Forstneric.

研究动机与目标

• 建立抽象CR流形之间CR映射的C^∞版本的Schwarz反射原理。
• 解决X. Huang关于不同维数CR流形之间CR映射正则性的猜想。
• 将Forstneric和Huang的解析性结果推广至光滑范畴，证明在适当的几何条件下，C^k映射在稠密开子集上是光滑的。
• 将Lamel关于一般嵌入CR流形的结果推广至抽象CR流形设定。

提出的方法

• 利用Roberts和Lamel关于CR映射的k₀-非退化性的框架，分析jets消去行为。
• 应用一种‘准全纯’隐函数定理，控制CR映射在边界附近的性质。
• 采用加权齐次性（z̃的次数为1，z_N的次数为2），分析映射在某点附近的泰勒展开。
• 利用Lewy延拓定理，将映射全纯延拓至源流形伪凸侧。
• 对次调和函数ρ(F, F̄)应用最大值原理和Hopf引理，推导出横截方向导数的严格负性。
• 从矩阵恒等式λI_{N−1} = AA^*导出矛盾，表明映射不可能为C^k，除非N′−1 ≥ N−1，从而证明其在稠密开集上光滑。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，CR流形之间的C^k CR映射在稠密开子集上是光滑的？
• RQ2 经典的全纯映射反射原理能否推广至抽象CR流形的C^∞设定？
• RQ3 X. Huang关于从有限类型超曲面到强拟凸目标的CR映射正则性猜想，在C^∞范畴下是否成立？
• RQ4 k₀-非退化性在CR映射光滑性传播中起什么作用？
• RQ5 加权jets消去与微局部分析如何在缺乏解析性的情况下促进光滑性证明？

主要发现

• 当M为CR维数为n的抽象CR流形，且M′ ⊂ ℂ^{n+k}为强拟凸一般CR子流形时，C^k CR映射F: (M, V) → (M′, V′)在M的稠密开子集上是光滑的。
• 本文证明：若F为C^k且k₀-非退化，则F在稠密开子集上光滑，将Lamel的结果推广至抽象CR流形。
• 从矩阵恒等式λI_{N−1} = AA^*导出矛盾，表明有限可微性假设将导致秩亏缺，除非N′−1 ≥ N−1，而当N′ < N时该条件不成立。
• 映射F可全纯延拓至M的伪凸侧，且在0点处横截导数∂F_{N′}/∂z_N的严格负性表明其在横截方向具有非退化行为。
• 该结果在C^∞设定下解决了Huang关于不同维数实解析超曲面之间CR映射正则性的猜想。
• 即使源流形不可嵌入，该光滑性结果依然成立，因此在抽象CR设定下具有新颖性和重要意义。