[论文解读] On the C-property and $w^*$-representations of risk measures

Niushan Gao, Foivos Xanthos|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用 13

一句话总结

该论文通过引入C-性质的一个变体，为满足 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ 的Orlicz空间 $L_{ {ilde}{\Phi}}(\mu)$ 上的正规凸递增泛函建立了 $w^{*}$-表示定理，排除了 $L_1(\mathbb{P})$ 的情形。研究发现标准 $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim})$ 拓扑在 $L_{\Phi}(\mu)$ 不是自反空间时无法满足C-性质，从而否定了Delbaen的Fatou性质结果向其他Orlicz空间的直接推广。关键贡献在于通过范数有界几乎处处收敛刻画了 $w^{*}$-下半连续性。

ABSTRACT

We identify a large class of Orlicz spaces $X$ for which the topology $σ(X,X_n^\sim)$ fails the C-property introduced in [7]. We also establish a variant of the C-property and use it to prove a $w^*$-representation theorem for proper convex increasing functionals on dual Banach lattices that satisfy a suitable version of Delbaen's Fatou property. Our results apply, in particular, to risk measures on all Orlicz spaces over $[0,1]$ which is not $L_1[0,1]$.

研究动机与目标

• 解决在Orlicz空间上 $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 拓扑下C-性质有效性的模糊性问题。
• 解决关于Delbaen的 $w^{*}$-表示定理是否可从 $L_\infty(\mathbb{P})$ 扩展到其他Orlicz空间的开放问题。
• 为满足 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ 的 $L_{\Phi}(\mathbb{P})$ 上的正规凸递增泛函建立 $w^{*}$-表示定理，排除 $L_1(\mathbb{P})$ 的情形。
• 通过证明范数有界性足以保证 $w^{*}$-下半连续性，澄清范数有界性在Fatou性质中的作用。

提出的方法

• 为满足 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ 的Orlicz空间 $L_{\Phi}(\mu)$ 上的 $w^{*}$-拓扑，引入一个针对该情形的C-性质变体。
• 证明 $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 拓扑在 $L_{\Phi}(\mu)$ 不是自反空间时，不满足标准C-性质。
• 利用新的C-性质变体，为满足合适Fatou型条件的正规凸递增泛函建立 $w^{*}$-表示定理。
• 利用 $L_{\Phi}(\mu)$ 与其序连续对偶空间 $L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}$ 之间的对偶性，将 $H_{\Psi}(\mu)$ 识别为 $w^{*}$-拓扑的预对偶空间。
• 将该表示结果应用于 $L_{\Phi}(\mathbb{P})$ 上的风险度量（$\Phi \neq \text{id}$），排除 $L_1(\mathbb{P})$ 的情形，因为 $L_1$ 不是对偶空间。
• 利用无界序收敛与范数有界几乎处处收敛，刻画 $w^{*}$-下半连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ 的Orlicz空间 $L_{\Phi}(\mu)$，标准 $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 拓扑是否满足C-性质？
• RQ2 Delbaen的 $L_\infty(\mathbb{P})$ 上的 $w^{*}$-表示定理能否扩展到除 $L_1(\mathbb{P})$ 外的其他Orlicz空间 $L_{\Phi}(\mathbb{P})$？
• RQ3 在Orlicz空间上的风险度量语境中，范数有界性是否足以保证 $w^{*}$-下半连续性？
• RQ4 共轭函数 $\Psi$ 的 $\Delta_2$-条件在决定 $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 拓扑下C-性质时起什么作用？
• RQ5 当 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ 时，能否为 $L_{\Phi}(\mathbb{P})$ 上的正规凸递增泛函建立 $w^{*}$-表示？

主要发现

• $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 拓扑仅在 $L_{\Phi}(\mu)$ 是自反空间时才满足C-性质，这意味着 $\sigma(L_\infty(\mathbb{P}), L_\infty(\mathbb{P})_{n}^{\sim}})$ 满足C-性质仅当 $L_\infty(\mathbb{P})$ 是有限维时成立。
• 对于满足 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ 的Orlicz空间 $L_{\Phi}(\mu)$，在 $w^{*}$-拓扑下，C-性质的一个变体成立。
• 建立了 $w^{*}$-表示定理：对于满足合适Fatou性质的正规凸递增泛函 $\phi$，有 $\phi(f) = \sup_{g \in H_{\Psi}(\mu)} (\langle f, g \rangle - \phi^*(g))$。
• 在此语境下，Fatou性质等价于当序列范数有界且几乎处处收敛时的 $w^{*}$-下半连续性。
• 该结果排除了 $L_1(\mathbb{P})$，因为其不是对偶空间，且条件 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ 确保了 $L_{\Phi}(\mathbb{P}) \neq L_1(\mathbb{P})$。
• 在Fatou性质中，范数有界性足以保证 $w^{*}$-下半连续性，表明Delbaen原始Fatou性质中的有界性条件在此设定下可被解释为范数有界性。