[论文解读] On the Capacity of Secure Distributed Batch Matrix Multiplication

Zhuqing Jia, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2019

Stochastic Gradient Optimization Techniques参考文献 33被引用 17

一句话总结

本文確立了安全分布式批量矩陣乘法（SDBMM）的容量，提出新型編碼方案，在X-安全編碼約束下實現最佳通訊效率。證明容量介於$(1 - 2X/N)^+$與$(1 - X/N)^+$之間，外積情況下容量精確為$(1 - X/N)^+$，內積情況在向量長度增加時趨近$(1 - 2X/N)^+$，並透過交叉子空間對齊與純量加法轉換技術，實現高效的安全計算。

ABSTRACT

The problem of secure distributed batch matrix multiplication (SDBMM) studies the communication efficiency of retrieving a sequence of desired matrix products ${\bf AB}$ $=$ $({\bf A}_1{\bf B}_1,$ ${\bf A}_2{\bf B}_2,$ $\cdots,$ ${\bf A}_S{\bf B}_S)$ from $N$ distributed servers where the constituent matrices ${\bf A}=({\bf A}_1, {\bf A}_2, \cdots, {\bf A}_S)$ and ${\bf B}=({\bf B}_1, {\bf B}_2,\cdots,{\bf B}_S)$ are stored in $X$-secure coded form, i.e., any group of up to $X$ colluding servers learn nothing about ${\bf A, B}$. It is assumed that ${\bf A}_s\in\mathbb{F}_q^{L imes K}, {\bf B}_s\in\mathbb{F}_q^{K imes M}, s\in\{1,2,\cdots, S\}$ are uniformly and independently distributed and $\mathbb{F}_q$ is a large finite field. The rate of an SDBMM scheme is defined as the ratio of the number of bits of desired information that is retrieved, to the total number of bits downloaded on average. The supremum of achievable rates is called the capacity of SDBMM. In this work we explore the capacity of SDBMM, as well as several of its variants, e.g., where the user may already have either ${\bf A}$ or ${\bf B}$ available as side-information, and/or where the security constraint for either ${\bf A}$ or ${\bf B}$ may be relaxed. We obtain converse bounds, as well as achievable schemes for various cases of SDBMM, depending on the $L, K, M, N, X$ parameters, and identify parameter regimes where these bounds match. A remarkable aspect of our upper bounds is a connection between SDBMM and a form of private information retrieval (PIR) problem, known as multi-message $X$-secure $T$-private information retrieval (MM-XSTPIR). Notable features of our achievable schemes include the use of cross-subspace alignment and a transformation argument that converts a scalar multiplication problem into a scalar addition problem, allowing a surprisingly efficient solution.

研究动机与目标

• 在任意X個共謀伺服器均無法獲知輸入矩陣資訊的X-安全編碼約束下，確定安全分布式批量矩陣乘法（SDBMM）的容量。
• 分析SDBMM的變體，包括使用者具備副資訊（例如可存取矩陣A或B）或其中一矩陣的安全約束放寬的情況。
• 針對L、K、M、N、X等參數在大K區 regime 下的各種參數組合，建立緊緻的對策邊界與可實現方案。
• 揭示SDBMM與多訊息X-安全T私密資訊檢索（MM-XSTPIR）之間的深刻關聯，進而導出新的上界。
• 發展新型編碼技術——特別是交叉子空間對齊與將純量乘法轉換為純量加法的技術——以在安全分布式計算中實現高通訊效率。

提出的方法

• 提出一種轉換機制，將純量乘法問題轉化為純量加法問題，進而透過結構化編碼實現高效的安全計算。
• 運用交叉子空間對齊技術，在維持隱私的前提下，將干擾對齊於多個伺服器，以最小化下載成本。
• 透過將SDBMM建模為多訊息X-安全T私密資訊檢索（MM-XSTPIR）的變體，並利用已知的PIR容量結果，推導對策邊界。
• 運用隨機矩陣理論與大有限域$\mathbb{F}_q$上的漸近分析，於獨立性與均勻性假設下，建立矩陣乘積的微 entropy 界。
• 基於MDS碼與多項式碼構建可實現方案，並針對具備X安全約束的SDBMM安全批量矩陣乘法場景進行調整。
• 分析矩陣區塊（A₁, A₂, B₁, B₂）之間的微 entropy 關係，以推導$\mathbf{A}\mathbf{B}$乘積微 entropy 的緊緻邊界，特別是在$K \leq \min(L,M)$、$M \leq \min(L,K)$或$L \leq \min(K,M)$的情況下。

实验结果

研究问题

• RQ1 當矩陣以X-安全編碼形式儲存在N台伺服器上時，安全分布式批量矩陣乘法的最大可達速率（容量）為何？
• RQ2 SDBMM的容量如何隨伺服器數量N與共謀伺服器數X而變化？
• RQ3 副資訊（例如使用者已擁有矩陣A或B）對SDBMM可達速率的影響為何？
• RQ4 放寬其中一矩陣（A或B）的安全約束後，SDBMM的容量如何變化？
• RQ5 SDBMM與私密資訊檢索（PIR），特別是多訊息X-安全T私密資訊檢索（MM-XSTPIR）之間的根本關係為何？

主要发现

• 對於足夠大的$K$（例如$K > 2\min(L,M)$），SDBMM的容量滿足$(1 - 2X/N)^+ \leq C < (1 - X/N)^+$，且在某些參數區間中上界為緊緻。
• 對於兩向量的外積批量，容量精確為$(1 - X/N)^+$，透過最佳編碼與對齊技術實現。
• 對於兩長向量的內積批量，當向量長度趨近無窮大時，容量趨近$(1 - 2X/N)^+$。
• 對策邊界透過與MM-XSTPIR的創新關聯推導而出，顯示SDBMM容量根本上受私密檢索約束所限制。
• 所提出的編碼方案在外部積情況下達成容量，運用交叉子空間對齊與將純量乘法轉換為純量加法的轉換技術。
• 當$K \leq \min(L,M)$時，矩陣乘積$\mathbf{A}\mathbf{B}$的微 entropy 為$LK + KM - K^2$（以q進制單位表示），與資訊理論下界與上界完全一致，確認邊界緊緻。