[论文解读] On the characterization of abelian varieties in characteristic $p>0$

Christopher D. Hacon, Zsolt Patakfalvi|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文通过分析阿尔巴内塞映射和亏格维数，建立了在特征 $p > 0$ 的代数闭域上，一个正规射影代数簇 $X$ 与阿贝尔簇双有理等价的条件。利用 $F$-奇点和 Cartier 模块的技术，证明了若 $κ(K_X) = 0$ 且阿尔巴内塞映射是通用有限的且其次数不被 $p$ 整除，或该映射是可分的且目标阿贝尔簇是通常型或超奇异型，则 $X$ 与一个阿贝尔簇双有理等价。

ABSTRACT

This article is superseded by 1703.06631. We keep this version here since some of the arguments for the special cases treated here are different than those of 1703.06631.

研究动机与目标

• 将 Kawamata-Viehweg 在特征零下关于最大阿尔巴内塞维数簇的结果推广到正特征。
• 刻画在特征 $p > 0$ 下，满足 $\kappa(K_X) = 0$ 的正规射影代数簇 $X$ 何时与阿贝尔簇双有理等价。
• 通过适配 $F$-奇点和一般性消失理论的工具，将特征零的结果推广到正特征。
• 处理阿尔巴内塞映射不可分的情形，特别是高度 1 的同构，以及处理超奇异和通常型阿贝尔簇。
• 在正特征下缺乏奇点解析的情况下，定义并使用 Weil 除子满足 $\kappa(K_X) = 0$ 的概念。

提出的方法

• 利用阿尔巴内塞映射 $a: X \to A$ 将问题约化为在阿贝尔簇 $A$ 上研究 $X$ 的几何性质。
• 在纤维化背景下应用亏格维数的次可加性，以分析斯坦因分解的通解纤维。
• 运用 Cartier 模块和 $S_0$-构造来分析 canonical sheaf $a_*\omega_X$ 的推出。
• 利用具有非零截面的线丛的 $V^0(K_X)$-支集来约束 canonical 除子的支集。
• 通过 Poincaré 可约化和到椭圆曲线的同构，利用超奇异和通常型阿贝尔簇的结构来分析。
• 利用相对 Frobenius 映射和叶状结构理论来分析高度 1 的有限纯不可分阿尔巴内塞映射的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 $p > 0$ 的域上，满足 $\kappa(K_X) = 0$ 的正规射影代数簇 $X$ 在何种条件下与阿贝尔簇双有理等价？
• RQ2 当阿尔巴内塞映射不一定是可分时，特征零下关于最大阿尔巴内塞维数簇的结果能否推广到正特征？
• RQ3 canonical sheaf 及其在阿尔巴内塞映射下的推出在正特征下如何约束 $X$ 的几何结构？
• RQ4 阿尔巴内塞映射的高度在决定与阿贝尔簇的双有理等价性中起什么作用？
• RQ5 在缺乏可分性或次数限制的情况下，阿尔巴内塞簇的结构（如通常型或超奇异型）能否用于恢复双有理等价结果？

主要发现

• 若阿尔巴内塞映射 $a: X \to A$ 是通用有限的且 $p \nmid \deg a$，且 $\kappa(K_X) = 0$，则 $a$ 是双有理的，因此 $X$ 与一个阿贝尔簇双有理等价。
• 若 $a$ 是可分的且 $A$ 为通常型或超奇异型，且 $\kappa(K_X) = 0$，则 $a$ 是双有理的，因此 $X$ 与一个阿贝尔簇双有理等价。
• 若 $a$ 是有限的、纯不可分的且高度为 1，且 $X$ 是光滑的，则 $a$ 是双有理的，因此 $X$ 与一个阿贝尔簇双有理等价。
• 定理 0.2 的证明表明，若 $a$ 是可分的且 $\kappa(K_X) = 0$，则 $a$ 是满射，这是迈向双有理性的关键步骤。
• 在超奇异 $A$ 的情形下，证明了阿尔巴内塞映射在一大个开集上是 étale 的，结合分支支集的纯性，可推出双有理性。
• 证明了 canonical sheaf $\omega_X$ 满足 $c_1(a_*\omega_X) = 0$，结合可分性，可推出 $a$ 在一大个开集上是 étale 的，从而导致双有理性。