[论文解读] On the chordality of polynomial sets in triangular decomposition in top-down style

Chenqi Mou, Yang Bai|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文研究自顶向下三角分解过程中多项式集的弦图结构，证明当输入多项式集的关联图是弦图时，王方法计算出的所有中间多项式集——包括三角集——的关联图均为输入弦图的子图。这种结构保持特性使得能够进行更精细的复杂度分析，并为稀疏多项式系统带来潜在的效率提升。

ABSTRACT

In this paper the chordal graph structures of polynomial sets appearing in triangular decomposition in top-down style are studied when the input polynomial set to decompose has a chordal associated graph. In particular, we prove that the associated graph of one specific triangular set computed in any algorithm for triangular decomposition in top-down style is a subgraph of the chordal graph of the input polynomial set and that all the polynomial sets including all the computed triangular sets appearing in one specific simply-structured algorithm for triangular decomposition in top-down style (Wang's method) have associated graphs which are subgraphs of the the chordal graph of the input polynomial set. These subgraph structures in triangular decomposition in top-down style are multivariate generalization of existing results for Gaussian elimination and may lead to specialized efficient algorithms and refined complexity analyses for triangular decomposition of chordal polynomial sets.

研究动机与目标

• 使用弦图分析三角分解过程中出现的多项式集图结构。
• 理解输入多项式集的弦图性质如何影响自顶向下风格的分解过程。
• 建立在分解过程中图子结构保持的理论保证，尤其针对王的方法。
• 探讨弦图结构在表达变量稀疏性及改进三角分解复杂度分析中的应用。
• 通过图论方法，将高斯消去法的洞察拓展至多元多项式系统。

提出的方法

• 基于多项式之间的共享变量定义多项式集的关联图。
• 引入弦多项式集的概念，即其关联图为弦图的多项式集。
• 证明对于任意自顶向下风格的算法，所计算出的三角集的关联图均为输入弦图的子图。
• 将王的方法重新表述为分解树，以分析所有中间多项式集的结构不变性。
• 证明王的方法中所有中间多项式集的关联图均继承自输入弦图的子图性质。
• 提出基于关联图的加权与非加权变量稀疏性度量，用于复杂度分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 输入多项式集的弦图结构如何影响自顶向下三角分解过程？
• RQ2 在何种条件下，自顶向下算法所计算出的三角集的关联图是输入弦图的子图？
• RQ3 在王的方法中，输入多项式集的弦图结构能否在整个分解过程中保持不变？
• RQ4 输入图的树宽与自顶向下风格三角分解的复杂度之间存在何种关系？
• RQ5 如何利用弦图结构来改进复杂度分析并提升多项式系统求解的效率？

主要发现

• 任意自顶向下算法所计算出的三角集的关联图，均为输入多项式集弦图的子图。
• 在王的方法中，所有中间多项式集——包括所有计算出的三角集——的关联图均为输入弦图的子图。
• 王的方法所计算出的第一个三角集的关联图，与输入多项式集的关联图完全相同。
• 王的方法所计算出的其他三角集的关联图，均为输入弦图的真子图。
• 多项式集的变量稀疏性可通过其关联图的边密度进行定量度量。
• 基于共享变量对的多项式数量的加权变量稀疏性，为复杂度分析提供了更精细的度量。