[论文解读] On the Chow theory of projectivizations

Qingyuan Jiang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用 10

一句话总结

本文为同调维数 ≤1 的凝聚层的射影化建立了楚瓦理论分解公式，将 [JL18] 中导出范畴的半正交分解推广至楚瓦群与动机。在适度的光滑性与维数条件下，证明了此类射影化的楚瓦群可分解为一个直和，包含奇异点的 Springer 型解析的楚瓦群与基空间的移位楚瓦群。

ABSTRACT

In this paper, we prove a decomposition result for the Chow groups of projectivizations of coherent sheaves of homological dimension $\le 1$. In this process, we establish the decomposition of Chow groups for the cases of Cayley's trick and standard flips. Moreover, we apply these results to study the Chow groups of symmetric powers of curves, nested Hilbert schemes of surfaces, and the varieties resolving Voisin maps for cubic fourfolds.

研究动机与目标

• 将同调维数 ≤1 的层的射影化导出范畴半正交分解推广至楚瓦群与动机的设定。
• 在退化点满足条件 (A) 或 (B) 的前提下，建立 [JL18] 中射影化公式的楚瓦理论类比。
• 将该分解应用于对曲线对称幂、表面嵌套希尔伯特概形以及立方四叠面 Voisin 映射的解析的楚瓦群计算。
• 证明楚瓦群的同构通过实现函子诱导出楚瓦动机与有理霍奇结构的同构。
• 通过半正交分解的去范畴化，探讨其对交集上同调、Quot 概形与导出范畴的更广泛影响。

提出的方法

• 通过两种不同方法证明：在光滑性与弱维数条件 (A) 下，以及在预期维数条件 (B) 下，对同调维数 ≤1 的凝聚层的射影化建立楚瓦理论分解。
• 利用 Cayley 技巧，将射影化的楚瓦群与第一 Ext 层上的对偶射影化楚瓦群联系起来。
• 通过爆破与解析分析代数几何中的标准翻转，将奇异射影化的楚瓦群分解。
• 通过将对称幂视为雅可比上的层的射影化，将分解应用于曲线的对称幂。
• 利用楚瓦群的同构，通过 Manin 的恒等原理诱导出楚瓦动机的同构。
• 利用贝蒂数上同调实现，从动机同构推导出有理霍奇结构的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将同调维数 ≤1 的层的射影化导出范畴半正交分解提升为楚瓦群的同构？
• RQ2 在何种条件下，凝聚层射影化的楚瓦群可分解为包含 Springer 型解析楚瓦群与基空间移位楚瓦群的直和？
• RQ3 楚瓦理论分解是否诱导出楚瓦动机与有理霍奇结构的同构？
• RQ4 该分解能否用于计算曲线对称幂与表面嵌套希尔伯特概形的楚瓦群？
• RQ5 射影化公式在何种程度上可推广至堆栈，或扩展至更高楚瓦群与环结构？

主要发现

• 对于 Cohen–Macaulay 代数系 $X$ 与秩为 $r$、同调维数 ≤1 的凝聚层 $\u001c{G}$，在条件 (A) 或 (B) 下，存在如下分解：$\operatorname{CH}_{k}(\mathbb{P}(\mathscr{G}))\simeq\operatorname{CH}_{k-r}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})))\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}\operatorname{CH}_{k-(r-1)+i}(X)$。
• 若 $X$、$\mathbb{P}(\mathscr{G})$ 与 $\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X}))$ 均为光滑射影概形，则存在整数楚瓦动机的同构：$\mathfrak{h}(\mathbb{P}(\mathscr{G}))\simeq\mathfrak{h}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})))(r)\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}\mathfrak{h}(X)(i)$。
• 该动机同构诱导出有理霍奇结构的同构：对所有 $n\geq 0$，有 $H^{n}(\mathbb{P}(\mathscr{G}),\mathbb{Q})\simeq H^{n-2r}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})),\mathbb{Q})\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}H^{n-2i}(X,\mathbb{Q})$。
• 该分解适用于曲线的对称幂：$\operatorname{CH}_{k}(C^{(g-1+n)})\simeq\operatorname{CH}_{k-n}(C^{(g-1-n)})\oplus\bigoplus_{i=0}^{n-1}\operatorname{CH}_{k-(n-1)+i}(\operatorname{Jac}(C))$。
• 对于表面 $S$ 上的嵌套希尔伯特概形 $\mathrm{Hilb}_{n,n+1}(S)$，通过射影化公式，楚瓦群分解成立。
• 对于 $F(Y)\times F(Y)$ 沿对角线的爆破，存在同构：$\Gamma^{*}\oplus\pi^{*}\colon\operatorname{CH}_{k-1}(\widetilde{Z})\oplus\operatorname{CH}_{k}(F(Y)\times F(Y))\xrightarrow{\sim}\operatorname{CH}_{k}(\operatorname{Bl}_{Z}(F(Y)\times F(Y)))$，其中 $\widetilde{Z}=\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathcal{P},\mathcal{F}))$。