[论文解读] Birational geometry for d-critical loci and wall-crossing in Calabi-Yau 3-folds

Yukinobu Toda|arXiv (Cornell University)|May 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用 13

一句话总结

本文为卡拉比-丘3流形上稳定对象模空间引入了d-临界双有理几何，通过定义虚拟双有理映射（如d-临界翻转与流形）来描述墙穿现象。研究证明，帕恩达里帕兰德-托马斯稳定对模空间的墙穿图构成一个d-临界极小模型程序，并在d-临界子簇上的虚拟典范线丛上建立了典范丛不等式的类比。

ABSTRACT

The notion of d-critical loci was introduced by Joyce in order to give classical shadows of $(-1)$-shifted symplectic derived schemes. In this paper, we discuss birational geometry for d-critical loci, by introducing notions such as `d-critical flips', `d-critical flops', etc. They are not birational maps of the underlying spaces, but rather should be understood as virtual birational maps. We show that several wall-crossing phenomena of moduli spaces of stable objects on Calabi-Yau 3-folds are described in terms of d-critical birational geometry. Among them, we show that wall-crossing diagrams of Pandharipande-Thomas (PT) stable pair moduli spaces, which are relevant in showing the rationality of PT generating series, form a d-critical minimal model program.

研究动机与目标

• 为解决经典双有理几何在应用于卡拉比-丘3流形上稳定对象模空间时的局限性，这些模空间通常具有严重奇点。
• 构建适用于模空间非光滑、非约化或非等维情形的虚拟双有理几何框架——包括d-临界翻转、流形等。
• 在d-临界子簇上的虚拟典范线丛基础上，建立双有理几何中典范丛不等式 $ M^{+} \geq_K M^{-} $ 的d-临界类比。
• 证明帕恩达里帕兰德-托马斯稳定对模空间中的墙穿现象可纳入此d-临界双有理几何框架。
• 将该框架应用于证明PT生成函数的有理性，并通过墙穿公式验证DT/PT对应关系。

提出的方法

• 引入d-临界子簇作为带有d-临界结构 $ s \in \Gamma(M, \mathcal{S}_M^0) $ 的概形或解析空间，编码局部临界簇数据。
• 将d-临界翻转与流形定义为满足局部模型同构于函数临界簇的态射图，且底层映射为光滑空间的实际翻转或流形。
• 利用d-临界子簇上的虚拟典范线丛，提出典范丛不等式 $ M^{+} \geq_K M^{-} $ 的d-临界类比。
• 将该框架应用于卡拉比-丘3流形上一维层与稳定对的模空间，证明其墙穿图满足d-临界翻转/流形条件。
• 应用DT型不变量的墙穿公式，特别地，通过解析墙穿与贝赫函数积分，将 $ L_{n,\beta}^t $ 不变量与PT不变量联系起来。
• 利用曲面 $ S $ 上 $ D^b(S) $ 中对象的对称Ext-Quiver性质，在附录中建立d-临界广义流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在卡拉比-丘3流形上稳定对象模空间中，尽管存在严重奇点，墙穿现象是否仍可借助虚拟双有理几何框架来描述？
• RQ2 d-临界翻转与流形是否为具有非良态奇点的模空间提供了经典双有理几何的一致推广？
• RQ3 是否存在d-临界子簇上成立的典范丛不等式 $ M^{+} \geq_K M^{-} $ 的d-临界类比？
• RQ4 d-临界双有理几何框架是否可用于证明帕恩达里帕兰德-托马斯不变量生成函数的有理性？
• RQ5 DT型不变量的墙穿公式如何与d-临界翻转及DT/PT对应关系相关联？

主要发现

• 卡拉比-丘3流形上帕恩达里帕兰德-托马斯稳定对模空间的墙穿图构成一个d-临界极小模型程序。
• d-临界翻转/流形结构通过与函数临界簇的局部同构定义，其底层映射为光滑簇的实际翻转或流形。
• 对于d-临界翻转与流形，虚拟典范线丛不等式 $ (M^+, s^+) \geq_K (M^-, s^-) $ 成立，推广了经典不等式。
• 通过d-临界框架中的墙穿，推导出PT不变量的乘积展开公式（C.1），从而证明了生成函数的有理性。
• 通过导范畴中的墙穿公式验证了DT/PT对应关系，其中 $ L_{n,\beta} $ 不变量在 $ t \gg 0 $ 时插值为PT不变量，在 $ t \ll 0 $ 时插值为DT不变量。
• 该框架适用于一维层与稳定对的模空间，证明其墙穿图即使在模空间具有奇点或非约化情形下，仍为d-临界流形或翻转。